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Auteur Author: carlin123
Type : Application
Page(s) : 49
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Description 

Solución Numérica de
Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Dr. Samir Al-Amer
Term 053
Traducido por Rosa Garrido J
SE301:Numerical Methods
Topic 8
Solution of ODE

SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 1
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
(EDO)
Método de la Serie de Taylor

 Ecuación Diferencial Ordinaria
 Método de la Serie de Taylor para resolver una
EDO




SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 2
EDO
Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
involucran una o mas derivadas de funciones no
conocidas
dx(t )
 x(t ) e t
dt
d 2 x(t ) dx(t )
2
5  2 x(t ) cos(t )
dt dt

La solución de una EDO es una función que
satisface la ecuaciones
SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 3
EDO
x(t ) cos(2t )
¿es la solución de la EDO única?
2
d x(t )
2
 4 x(t ) 0
dt
Todas las funciones de la forma x(t ) cos(2t  c)
(Donde c es una constante real) son soluciones

SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 4
Unicidad de la Solución
Para especificar la unicidad de la solución de la
EDO de orden n necesitamos condiciones
iniciales.

2
d y ( x)
 4 y ( x) 0
dt 2
y (0) a
y (0) b

SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 5
Método de la Serie de Taylor
dy ( x)
Dado  f ( y, x), y (a)  y a
dx
Expansión de la Serie de Taylor de y(x)
dy
y (a  h)  y (a)  h  h.o.t  y (a)  h f ( y (a ), a)
dx
Similarmente
y (a  2h)  y (a  h)  h f ( y (a  h), a  h)
Usamos fórmulas similares para calcular y (a  3h), y (a  4h),....


SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 6
Ejemplo
dy
Solve  f ( y, x) , y (0)  ya use h 0.01
dx


y(0)

y(h)




SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 7
Ejemplo
dy
Re solver 1  x 2 , y (1)  4 use h 0.01
dx

y (a  h)  y (a )  h f ( y (a), a)
y (1)  4
2
y (1.01)  4  0.01(1  (1) )  3.98
y (1.02)  3.98  0.011  1.01   3.9598
2


y (1.03)  3.9598  0.011  1.02   3.9394
2

SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 8
Ejemplo
dx(t )
Re solver 1  t 2 , x(1)  4 use h 0.01
dt




SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 9
Método de Euler
El Método de Euler Método de la serie de Taylor
dy ( x)
Dado  f ( y, x), y (a )  y a
dx
Solución :
y (a  h)  y (a)  h f ( y (a), a)
y (a  2h)  y (a  h)  h f ( y (a  h), a  h)
y (a  3h)  y (a  2h)  h f ( y (a  h), a  2h)


SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 10
Tipos de Errores
Tipos de Errores:
 Error Local de Truncación:
error causado por el uso de la serie de
Taylor truncada para calcular x(t+h).
 Error de Redondeo:
error causado por el número finito de bits
usado en la representación de los numéros.
Este error puede ser acumulado y
magnificado en los pasos sucesivos.


SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 11
Ejemplo 2
dx(t )
Re solver  2 x(t ) 1, x(0) 1 use h 0.01
dt

x(a  h)  x(a)  h f (a, x(a ))
f ( x)  ?
x(0.01) ?
x(0.02) ?
x(0.03) ?
x(0.04) ?
SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 12
Ejemplo 2
dx(t )
Solve  2 x(t ) 1, x(0) 1 use h 0.01
dt

x(a  h)  x(a )  h f (a, x(a))
f (t , x)  1  2 x(t )
x(0.01) 1  .01(1  2(1)) 1  .01 .99
x(0.02) 0.99  0.01(1  2(0.99)) 0.9802
x(0.03) 0.9706
x(0.04) 0.9612
SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 13
Método de Euler
Modificado
Revisión del Métoo de Euler Heun’s
Método de Heum
Método del Medio punto
Método de Runge-Kutta



SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 14
Titulos
 Método de Euler
 Heun’s Predictor Corrector
 Método de Medio punto (Midpoint)
 Comparación




SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 15
Método de Euler
Problem a Método de Euler
y ( x)  f ( x, y ) y 0  y ( x0 )
y ( x0 )  y 0 y i 1  y i  h f ( xi , y i )
for i 1,2,...

2
Error Local de Truncación O(h )
Error Global de Truncación O(h)
SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 16
Método del Predictor-Corrector de Heun
Problema Máetodo de Heum
y ( x)  f ( x, y ) y 0  y ( x0 )
y ( x0 )  y 0 Predictor : y ik1  y i  h f ( xi , y i )
h
Corrector : y k 1
i 1  yi 
2

f ( xi , y i )  f ( xi 1 , y ik1 ) 

Error Local Truncación O(h 3 )
Error Global Truncation O(h 2 )


SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 17
Método del Medio punto
Problema Método del Medio Punto
y ( x)  f ( x, y ) y 0  y ( x0 )
h
y ( x0 )  y 0 y 1  y i  f ( xi , y i )
i
2
2
y i 1  y i  h f ( x 1 ,y 1 )
i i
2 2



Local Truncation Error O(h 3 )
Global Truncation Error O(h 2 )
SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 18
Métodos Runge-Kutta

Métodos de Runge Kutta




SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 19
Método de Runge Kutta
Runge Kutta de Segundo Orden
K 1 h f (t , x)
K 2 h f (t   h, x   K 1 )
x(t  h)  x(t )  w1 K 1  w2 K 2
Problema :
Encontrar  ,  , w1 , w2
tal que x(t  h) es una poisble aproximación.
SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 20
Serie de Taylor en dos
Variables
El método de la serie de Taylor en dos variables
es usado para probar la fórmula de Runge Kutta




SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 21
Serie de Taylor en una Variable

Expansión en la serie de Taylor de f(x)
n 1 i n
h (i ) h (n)
f ( x  h )  f ( x )  f (x)
i 0 i! n!

Aproximación Error


donde x esta entre x y x  h
SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 22
Serie de Taylor en una variable

Define
i i
 d  i d f ( x) (i ) i
 h  f ( x ) h i
 f ( x) h
 dx  dx
La expansión de la serie de Taylor de f(x)
n 1 i n
1 d  1 d 
f ( x  h )   h  f ( x )   h  f ( x )
i 0 i!  dx  n!  dx 
x esta entre x y x  h
SE301_Topic 8 (c)Al-Amer 2006 23
Definiciones

i i
   i  f
 h  f ( x , y )  h
 x  x i
0
   
 h k  f ( x, y )  f ( x, y )
 x y 
1
     f ( x, y )  f ( x, y )
 h k 
 f ( x , y ) h k
 x y  x y
2 2 2 2
     f ( x , y )  f ( x , y )  f ( x, y)
 h k  f ( x , y ) h2  2 h k  k 2

 x y

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