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Catégorie :Category: mViewer GX Creator App HP-Prime
Auteur Author: Juan3110
Type : Application
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Mis en ligne Uploaded: 12/07/2019 - 10:52:09
Uploadeur Uploader: Juan3110 (Profil)
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Description 

Examen Final de Septiembre. Asignatura: Control por Computador
Curso 2012-2013. Primer Cuatrimestre. Fecha 04/09/2013


Problemas
P.1. (3 puntos) Dado un …ltro pasivo RC con resistencia R y capacidad C. Supong-
amos que la entrada de tensión vi (t) es constante entre muestras (para un
T ), es decir,
vi (t) = vi (kT ) , kT t < (k + 1) T
(i) Determina la función de transferencia G (s) = VVio(s)
(s)
y para el período de
muestreo T dado calcula Vo (s). ¿Cuánto valdría Vo (z)?
(ii) Determina la ecuación en diferencias que relaciona vo [n] con vi [n].
(iii) Si la entrada es una rampa, vi (t) = t, determina la salida en los instantes
de muestreo. (Utiliza el método de expansión en fracciones parciales para
invertir la transformada Z).
Solución: (i) La función de transferencia G (s) es de la forma:
Vo (s) 1
G (s) = =
Vi (s) 1 + RCs
Notemos que la entrada es constante a tramos, es decir equivale a un sistema muestrea-
do seguido por un retenedor de orden cero (ZOH). En consecuencia, debemos trans-
sT
formar a Z el sistema GZOH (s) G (s) = 1 se 1+RCs1
; lo hacemos de…niendo G1 (s) =
1
G(s)
= RC
1
s(s+ RC
, y calculando G1 (s). Aplicaremos la expansión en fracciones parciales
s )
a G1 (s) ya que tiene dos polos reales distintos
A B
G1 (s) = + 1
s s + RC
1
RC
A = l m sG1 (s) = l m 1 =1
s!0 s!0 s+ RC
1 1 1
B = l m1 s+ G1 (s) = l m1 = 1
s! RC
RC s! RC
s RC
Para calcular G1 (s) recordemos la propiedad de modulación de la transformada de
Laplace: Z c+i1
1
L fx (t) y (t)g (s) = Y (p) X (s p) dp
2 i c i1
La transformada de Laplace de un tren de impulsos causal es de la forma
(1 )
X X1
1
L (t kT ) (s) = e skT =
k=0 k=0
1 e sT

Con estos dos resultados se llega a que
( ) Z c+i1
X1
1 1
G1 (s) = L g1 (t) (t kT ) (s) = G1 (p) (s p)T
dp
k=0
2 i c i1 1 e

Dado que l mjsj!1 G1 (s) = 0, podemos escribir G1 como una integral de contorno,
1 H 1
G1 (s) = G1 (p) (s p)T
dp
2 i 1 e
donde el camino cerrado incluye los polos de G1 (p). Utilizamos la notación P (G1 )
para indicar el conjunto de polos de G1 (s). En virtud del teorema de los residuos,
X 1
G1 (s) = Res G1 (p) (s p)T
;x =
1 e
x2P(G1 )

1 1 1
= Res G1 (p) (s p)T
; 0 + Res G1 (p) (s p)T
;
1 e 1 e RC
1 1
Res G1 (p) (s p)T
;0 = l m pG1 (p) (s p)T
=
1 e p!0 1 e
1
RC 1 1
=lm =1
p!0 p+ 1 e (s p)T RC
1 e sT

1 1 1 1
Res G1 (p) (s p)T
; = l m p + G1 (p) (s p)T
=
1 e RC 1
p! RC RC 1 e
1
RC 1 1
= l m1 (s p)T
= 1
p! RC
p 1 e 1 e (s+ RC )T
Ahora ya podemos escribir Vo (s):

sT sT 1 1
Vo (s) = 1 e G1 (s) Vi (s) = 1 e sT 1
Vi (s) =
1 e 1 e (s+ RC )T
sT
1 e
= 1 1
Vi (s)
1 e (s+ RC )T
ln z
Por último, para calcular Vo (z) simplemente hacemos el cambio de variable s = T
.
1
1 z
Vo (z) = 1 T Vi (z) = (1)
1 z 1e RC
T
z 1 1 e RC
...

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