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Exercice série 4


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Description 

Corrigés

1 – poutre sur appuis simples avec une charge transversale verticale ponctuelle




REACTIONS D’APPUI
a - Choix des sens positifs et représentation des réactions aux appuis




b - degré d’hyperstaticité
Inconnues du problème
Trois inconnues d’appui : RAZ , RBX et RBZ.
Comme on a 3 équations dans le plan, le système est isostatique.
c – application du PFS
En appliquant le PFS à la poutre, on a :
/X : RBX = 0 (1)
/Z : RAz – F + RBz = 0 (2)
.
MtA/Y : - Fa + RBZ .l = 0 soit = (3)
.
(2) et (3)  = (4)
SOLLICITATIONS
Pour 0  x  a
Découpons la poutre en pensée entre les points A et C et isolons le tronçon de gauche.




Appliquons le PFS au tronçon AG :
/X : N(x) = 0 (1)
.
/Z : + ( )=0 soit ( )=− (2) (constante)
. .
Mt/Y : − . + ( )=0 soit ( )= . (3) (équation d’une droite)
Pour x = 0 ; ( )=−
( )=
Pour x  a- ; ( )=− = −

( )= .

Pour a  x  l




Appliquons le PFS au tronçon AG :
/X : N(x) = 0 (1)
.
/Z : − + ( ) = 0 soit ( )=− + soit ( )= (2) (constante)
.
Mt/Y : − . + ( − )+ ( )=0 soit ( )= . ( − ) (3) (équ. droite)
Pour x  a+ ; ( )=

( )= . − = .
 
Donc pour le moment fléchissant, C est un point de discontinuité de 1ère espèce
Pour l’effort tranchant, C est un point de discontinuité de 2nde espèce
( )− ( )= + =
 

Pour x = l, ( )= =
( )=

Diagrammes
Cas particulier a = b = l/2




Par raison de symétrie, on a = =
.
En = , =
2 - poutre sur appuis simples avec une charge transversale verticale uniformément répartie, de
densité q.




REACTIONS D’APPUI
a - Choix des sens positifs et modélisation des réactions sur le système




b – degré d’hyperstaticité
Inconnues du problème
Trois inconnues d’appui : RAZ , RBX et RBZ.
Comme on a 3 équations dans le plan, le système est isostatique
c – application du PFS
Particularité de la structure : on a une symétrie mécanique, (structure et chargement
symétrique, d’où RAz = RBz). En appliquant le PFS à la poutre, on a :
.
RAz + RBz – ql = 0 et du fait de la symétrie on a = =
RBX = 0
SOLLICITATIONS
Découpons la poutre en pensée et isolons le tronçon de gauche.




Appliquons le PFS au tronçon AG :
/X : N(x) = 0 (1)
. .
/Z : − + ( ) = 0 soit ( )= − (2)
. ² . ²
Mt/Y : − . + + ( )=0 soit ( )= . − (3)
Effort tranchant :
.
( )= − est l’équation d’une droite.
Valeur de Vz en des points particuliers.
.
Pour x = 0 , ( )=−
. .
En milieu de poutre, = , = − =
. .
Pour x = l, ( )= − soit ( )=
Moment fléchissant :
. ²
( )= . − est l’équation d’une parabole
Valeur de MY en des points particuliers.
Pour x = 0, ( )=
. .²
En milieu de poutre, = , = . − . ( )² Soit =
. ²
Pour x = l, ( )= . − Soit ( )=
Diagrammes




Remarque :
( ) .
= − . = − ( ) (4)

Comme = , = est un extrémum local
( )
= (5)
² ( ) ( )
On en déduit que ²
= − =− (6)
Les relations (4), (5) et (6) sont en fait des résultats généraux qu’on peut démontrer. Ils
permettent de :
- Soit de déterminer V et M dans un tronçon de poutre soumis à une charge répartie ;
- Soit de vérifier l’exactitude d’un tracé de diagrammes des sollicitations ;
- Soit de déterminer la section la plus sollicitée en flexion ( la section où l’effort tranchant est
égal à zéro)
3 – poutre sur appuis simples avec une charge transversale verticale uniformément répartie sur
un tronçon.




REACTIONS D’APPUI
a - Choix des sens positifs et modélisation des réactions sur le système




b – degré d’hyperstaticité
Inconnues du problème
Trois inconnues d’appui : RAZ , RBX et RBZ.
Comme on a 3 équations dans le plan, le système est isostatique
c – application du PFS
En appliquant le PFS à la poutre, on a :
/X : RBX = 0 (1)
/Z : RAz – q.c + RBz = 0 (2)
.
MtA/Y : − qc (a + ) + R .l = 0 soit = ( + ) (3)
(2) et (3)  = [1 − (2. + )] (4)
.
SOLLICITATIONS (indications)
Pour 0  x  a
Découpons la poutre en pensée entre les points A et C et isolons le tronçon de gauche.
Appliquons le PFS au tronçon AG :
/X : N(x) = 0 (1)
/Z : R + ( ) = 0 soit ( ) = −R (2) (constante)
Mt/Y : − R . + ( )=0 soit ( )=R . (3) (équation d’une droite)
Pour x = 0 ; ( ) = −R
( )=

Pour x  a- ; ( )= −

( )=R .

Pour a  x  a + c




Appliquons le PFS au tronçon AG :
/X : N(x) = 0 (1)
/Z : − ( − ) + ( ) = 0 soit ( )=− + ( − ) (2) (droite)
Mt/Y : − . + . ( − ). ( ) + ( )=0
soit ( )= . − . ( − )² (3) (parabole)
Pour x  a+ ; ( )=−

( )= .

Pour x  (a +c)- ; ( )=− + .
( )
( )= .( + )− . ²
( )


Pour x  a + c




Appliquons le PFS au tronçon AG :
/X : N(x) = 0 (1)
/Z : − . + ( ) = 0 soit ( )=− + . (2) (constante)
Mt/Y : − . + . .[ − ( + ) + ] + ( )=0

soit ( )= . − . [ − + ] (3) (droite)
Pour x  (a + c)+ ; ( )=− + .
( )
( )= .( + )− . ²
( )
Pour x = l ( )=



4 – Poutre encastrée à une extrémité, libre à l’autre extrémité, sous charge transversale verticale
ponctuelle.




5 – Poutre encastrée à une extrémité, libre à l’autre extrémité, sous charge transversale verticale
uniformément répartie.




REACTIONS D’APPUI
a - Choix des sens positifs et modélisation des réactions sur le système
b – degré d’hyperstaticité
Inconnues du problème
Trois inconnues d’appui : RZ , RX et MY.
Comme on a 3 équations dans le plan, le système est isostatique
c – application du PFS
/X : RX = 0
/Y : RZ – q.l = 0 soit RZ = ql
²
MtA/Y : – . . =0 soit = .
SOLLICITATIONS
Découpons la poutre en pensée et isolons le tronçon de gauche.




Appliquons le PFS au tronçon AG :
/X : N(x) = 0 (1)
/Z : . − . + ( ) = 0 soit ( )= ( − ) (2) (droite)
² ²
Mt/Y : . − . . + . + ( )=0

...

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