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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: Elsergiiiinhooo
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 16
Taille Size: 1.01 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 20/06/2019 - 23:56:35
Uploadeur Uploader: Elsergiiiinhooo (Profil)
Téléchargements Downloads: 0
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2205336

Description 

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2018

ÉPREUVE DU VENDREDI 22 JUIN 2018


MATHÉMATIQUES
- Série S -


Enseignement Obligatoire Coefficient : 7



Durée de l’épreuve : 4 heures


L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen,
est autorisé.


Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou
non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
pour une part importante dans l’appréciation des copies.



Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 8 pages
numérotées de 1 à 8.




18MASOMLR1 Page 1 sur 8
Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :
e e 2 .
Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe
symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points et ′
comme indiqué sur le graphique.




Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point d’abscisse
strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement
positives de l’équation ∶ e e 4 2 0.

2. On note la fonction définie sur l’intervalle 0 ; ∞ par :
e e 4 2.
a. Vérifier que pour tout 0, 4 e 2.
b. Déterminer lim .
→#$

3. a. On note ′ la fonction dérivée de la fonction . Calculer %
, où appartient à
l’intervalle 0 ; ∞ .
b. Montrer que l’équation %
0 équivaut à l’équation : e 4e 1 0.
c. En posant ' e , montrer que l’équation %
0 admet pour unique solution
réelle le nombre ln 2 √5 .

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée ′ de :
0 ln 2 √5 ∞
%
0
a. Dresser le tableau de variations de la fonction .
b. Démontrer que l’équation 0 admet une unique solution strictement positive
que l’on notera +.


18MASOMLR1 Page 2 sur 8
5. On considère l’algorithme suivant où les variables ,, - et . sont des nombres réels :

Tant que - , 0,1 faire :
1#2
. ←

Si e3 e 3
4. 2 0, alors :
- ← .
Sinon :
,←.
Fin Si
Fin Tant que


a. Avant l’exécution de cet
algorithme, les variables , et - 5 6 7 7 6
contiennent respectivement les
valeurs 2 et 3. 8 9 :
Que contiennent-elles à la fin de 8, ;
l’exécution de l’algorithme ?
On justifiera la réponse en
… … … …
reproduisant et en complétant le
tableau ci-contre avec les différentes
valeurs prises par les variables, à
chaque étape de l’algorithme.
b. Comment peut-on utiliser les
valeurs obtenues en fin
d’algorithme à la question
précédente ?

6.
La Gateway Arch, édifiée dans la
ville de Saint-Louis aux États-
Unis, a l’allure ci-contre.
Son profil peut être approché par
un arc de chaînette renversé dont
la largeur est égale à la hauteur.

La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement
positive de l’équation :
< <
?
′ ∶ e => e
=> 4 @A 2 0.

Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.




18MASOMLR1 Page 3 sur 8
Exercice 2 (4 points) Commun à tous les candidats
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population
d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A
L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques
individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours
totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la
grippe tout en étant vacciné.
Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de
constater que :
• 40% de la population est vaccinée ;
• 8% des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
• 20% de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les
événements :
V : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
G : « la personne a contracté la grippe ».

1. a. Donner la probabilité de l’événement G.
b. Reproduire l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre
de ses branches.




2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.

3. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté
la grippe est égale à 0,28.




18MASOMLR1 Page 4 sur 8
Partie B

Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à 10 @
près.

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette
ville.

Après la période hivernale, on interroge au hasard B habitants de la ville, en admettant que
ce choix se ramène à B tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la
probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est
égale à 0,4.
On note ' la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les B
interrogées.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire ' ?

2. Dans cette question, on suppose que B 40.
a. Déterminer la probabilité qu’exactement 15 des 40 personnes interrogées soient
vaccinées.
b. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit
vaccinée.

3. On interroge un échantillon de 3750 habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose
ici que B 3750.
E FGG
On note D la variable aléatoire définie par : D @G
.

On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire D peut être approchée par la
loi normale centrée réduite.
En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu’il y ait entre 1450 et 1550
individus vaccinés dans l’échantillon interrogé.




18MASOMLR1 Page 5 sur 8
Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats
Le but de cet exercice est d’examiner, dans différents cas, si les hauteurs d’un tétraèdre sont
concourantes, c’est-à-dire d’étudier l’existence d’un point d’intersection de ses quatre hauteurs.

On rappelle que dans un tétraèdre HIJ, la hauteur issue de est la droite passant par
orthogonale au plan HIJ .

Partie A Étude de cas particuliers
On considère un cube KLMN OPQ.




On admet que les droites KP , LQ , M et NO , appelées « grandes diagonales » du cube,
sont concourantes.

1. On considère le tétraèdre KLM .
a. Préciser la hauteur issue de ...

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