Chapitre 13
Géométrie dans l’espace.
Vecteurs et produit scalaire.



1 Relations entre droites et plans

Deux droites peuvent être parallèles, sécantes ou non coplanaires.
Une droite et un plan peuvent être parallèles ou sécants.
Deux plans peuvent être parallèles ou sécants



2 Parallélisme

Théorème du toit : Si deux droites d1 et d2 sont deux parallèles contenues respectivement
dans deux plans sécants P1 et P2 en une droite ∆ alors la droite ∆ est parallèle aux droites
d1 et d2 .



Plans parallèles : Un plan P coupe deux plans parallèles P1 et P2 en deux droites d1 et d2
parallèles.



3 Orthogonalité

On dit que deux droites, d1 et d2 sont perpendiculaires si, et seulement si, d1 et d2 sont
sécantes en angle droit.
On dit que deux droites, d1 et d2 sont orthogonales si, et seulement si, il existe une parallèle
∆ à d1 qui est perpendiculaire a la seconde.
On ecrit indistinctement : d1 ⊥ d2 .



Droite et plan orthogonaux : Une droite ∆ est orthogonale à un plan P si, et seulement si,
il existe deux droites sécantes, d1 et d2 de P en un point I perpendiculaire à ∆.
∆ est alors orthogonale à toute droite du plan P




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4 Vecteurs dans l’espace

On étend la notion de vecteur du plan a l’espace. Les definitions et propriétés du plan restent
valables dans l’espace :
−→ −−→
• AB = CD ⇔ ABDC est un parallélogramme
−→ −→ −−→
• On définit l’addition de deux vecteurs a l’aide de la relation de Chasles : AB + BC = AC
• On définit le produit d’un vecteur par un réel par un vecteur de même direction λ~u
Colinéarité
• ~u et ~v colinéaires ⇔
∃ k ∈ R, ~v = k~u
−−→ −→
• A, B, C alignés ⇔ ∃ k ∈ R, AC = kAB
−−→ −→
• (AB) // (CD) ⇔ ∃ k ∈ R, CD = kAB



5 Coplanarité

Un plan P est défini par un un point A et un couple de vecteurs (~u,~v) appelés vecteurs
directeurs de P.
Le plan (ABC) est l’ensemble des points M tels que :
−−→ −→ −−→
AM = xAB + yAC ( x, y) ∈ R2



Vecteurs et points coplanaires
• ~u, ~v et w ⇔ ∃( a, b) ∈ R2 , w
~ coplanaires ~ = a~u + b~v
−−→ −→ −−→
• A, B, C, D coplanaires ⇔ ∃( a, b) ∈ R2 , AD = aAB + bAC
Remarque : il faut alors résoudre avec les coordonnées un système de trois équations a
deux inconnues.


6 Dans un repère

 
~
Dans un repère O, ~ı, ~, k , on détermine un point ou un vecteur par trois coordonnées :
l’abscisse, l’ordonnée et la cote.
On obtient les relations identiques au plan :
−→
• AB ( xB − xA ; yB − yA ; zB − zA )
xA + xB yA + yB zA + zB
 
• I milieu de [AB] : I ; ;
q 2 2 2
• AB = ( xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA ))2


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7 Représentation paramétrique d’une droite et d’un plan

Soit une droite d passant par un point A( xA ; yA ; zA ) et de vecteur directeur ~u( a; b; c), on
appelle représentation parametrique de la droite d, le système d’équations paramétriques
suivant : 
 x = xA + at

y = yA + bt t ∈ R

 z = z + ct
A




Soit un plan P passant par un point A( xA ; yA ; zA ) et de vecteurs directeurs ~u( a; b; c) et
~v(α, β, γ), on appelle représentation paramétrique du plan P, le système d’équations pa-
ramétriques suivant : 
 x = xA + at + αs

y = yA + bt + βs (t, s) ∈ R2

 z = z + ct + γs
A




8 Produit scalaire

On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~u( x; y; z) et ~v( x ′ ; y′ ; z′ ) le réel noté ~u · ~v défini
par l’une des trois relations suivantes :
1
1) ~u · ~v = ||~u + ~v||2 − ||~u||2 − ||~v||2


2
2) ~u · ~v = xx ′ + yy′ + zz′
3) ~u · ~v = ||~u|| × ||~v|| cos(~u, ~v)



Propriétés :
Le produit scalaire est :
• commutatif : ~u · ~v = ~v · ~u
• bilinéaire : ~u(~v + w ~ et ( a~u) · (b~v) = ab ~u · ~v
~ ) = ~u · ~v + ~u · w
Si ~u et ~v sont colinéaires alors : ~u · ~v = ±||~u|| × ||~v||.
Le signe dépend du sens des deux vecteurs.
[ on a alors :
On appelle θ = BAC,
π −→ −−→
• Si 0 6 θ < alors AB · AC > 0
2
π −→ −−→
• Si θ = alors AB · AC = 0, ABC est alors rectangle en A
2
π −→ −−→
• Si θ > alors AB · AC < 0.
2


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9 Équation cartésienne d’un plan

Le vecteur ~n est normal au plan P si, et seulement si, toute droite de vecteur directeur ~n est
orthogonale au plan P.
Un plan P est défini par un point A et un vecteur normal ~n. Tout point M du plan P vérifie :
−−→
AM · ~n = 0



Théorème : Une droite ∆ est orthogonale à un plan P si, et seulement si, deux droites
sécantes de P sont perpendiculaires à ∆.



Théorème : Deux plans P1 et P2 de vecteurs normaux respectifs ~n1 et ~n2 sont perpendicu-
laires si, et seulement si, ~n1 · ~n2 = 0



Équation d’un plan : l’équation cartésienne d’un plan P est de la forme :
ax + by + cz + d = 0 a, b, c non tous nuls
Le vecteur ~n( a, b, c) est alors normal au plan P



10 Section d’un cube par un plan
• L’intersection, lorsqu’elle existe, d’une face par le plan (IJK) est un segment
• Une droite doit être tracée dans un plan contenant la face du cube
• Si deux points M et N du plan (IJK) sont sur une face, on relie M et N, cela donne l’inter-
section de (IJK) et de cette face
• La section du cube par le plan (IJK) est un polygone.

Dans notre construction :
• On trace [IK] en rouge qui est l’intersection du plan (IJK) avec
la face du haut EFGH.
• On ne peut pas relier J à I ou K car ces segments ne sont pas H G
sur une face du cube. I
K
b


• On cherche l’intersection de (IJK) avec la face avant ABFE.
b

E b



Pour cela, on détermine l’intersection de la droite (IK) avec L
F
la droite (EF) qui contient l’arête [EF] appartenant aux faces
EFGH et ABFE. On note L leur point d’intersection. Comme
L ∈ (IK) donc L ∈ (IJK).
• Comme L ∈ (EF), donc L appartient au plan (EFB) D M C
contenant la face ABFE. On trace alors la droite
(JL) dans le plan (EFB) qui coupe [FB] en M. b



Comme M ∈ (JL), M ∈ (IJK). A J B
• Ainsi [JM] et [KM] constituent les intersections du plan (IJK)
avec les faces avant ABFE et de droite BCGF. On trace ces
segments en rouge

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On réitère cette opération pour la face gauche ADHE et la face
H G
du dessous ABCD : I
K
b


• On détermine l’intersection de la droite (MJ) avec la droite E b
b




(AE) qui contient l’arête [AE] appartenant aux faces ADHE et L
...