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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: melody18
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 34
Taille Size: 2.05 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 20/06/2019 - 13:25:11
Mis à jour Updated: 20/06/2019 - 14:15:11
Uploadeur Uploader: melody18 (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description 

  1  
DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S
SUITES

Propriété :
Si q > 1 alors lim q n = +∞ .
n→+∞



D1 - Démonstration au programme (exigible BAC) :  
Prérequis : Pour tout entier naturel n, on a : (1 + a ) ≥ 1 + na (inégalité de Bernoulli qui se démontre
n


par récurrence).
On suppose que q > 1 , alors on peut poser q = a + 1 avec a > 0 .
qn = (1 + a ) ≥ 1 + na .
n


Or lim (1 + na ) = +∞ car a > 0 . Donc par le théorème de comparaison lim q n = +∞ .
n →+∞ n→+∞

 
 
Théorème de comparaison :
Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ℕ.
Si, à partir d'un certain rang, un ≤ vn et lim un = +∞ alors lim vn = +∞ .
n→+∞ n→+∞



D2 - Démonstration au programme (exigible BAC) :  
Soit un nombre réel a.
- lim un = +∞ , donc l'intervalle ⎤⎦ a;+∞ ⎡⎣ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang
n→+∞

que l'on note n1. On a donc pour tout n ≥ n1 , a < un .
- A partir d'un certain rang, que l'on note n2, on a un ≤ vn .
- Ainsi pour tout n ≥ max(n1;n2 ) , on a a < un ≤ vn .
On en déduit que l'intervalle ⎤⎦ a;+∞ ⎡⎣ contient tous les termes de la suite (vn) à partir du rang
max(n1;n2 ) . Et donc lim vn = +∞ .
n→+∞

 

Propriété : Soit (un) une suite croissante définie sur ℕ.
Si lim un = L alors la suite (un) est majorée par L.
n→+∞



D3 - Démonstration au programme (non exigible BAC) :  
Démontrons par l’absurde en supposant le contraire, soit  :  «  Il existe un entier p, tel que u p > L .  »  
- L'intervalle ouvert ⎤⎦ L − 1;u p ⎡⎣ contient L.
Or, par hypothèse, lim un = L . Donc l'intervalle ⎤⎦ L − 1;u p ⎡⎣ contient tous les termes de la suite (un)
n→+∞
à partir d'un certain rang (1).
- Comme (un) est croissante : un ≥ u p pour n > p .
Donc si n > p , alors un ∉ ⎤⎦ L − 1;u p ⎡⎣ (2).
(1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas p ϵ  ℕ, tel que u p > L .
Et donc la suite (un) est majorée par L.
Yvan  Monka  –  Académie  de  Strasbourg  – www.maths-­‐et-­‐tiques.fr
  2  
Propriétés :
- Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞ .
- Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers −∞ .

D4 - Démonstration au programme (non exigible BAC) :  
Soit un réel a.
Comme (un) n'est pas majorée, il existe un entier p tel que u p > a .
La suite (un) est croissante donc pour tout n > p , on a un ≥ u p .
Donc pour tout n > p , on a un > a .
Et donc à partir d'un certain rang p, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ⎤⎦ a;+∞ ⎡⎣ .
On en déduit que lim un = +∞ .
n→+∞

 

FONCTIONS

Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f ' = f et f (0) = 1 .

D5 - Démonstration de l’unicité au programme (exigible BAC) :  
- Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ.
Soit la fonction h définie sur ℝ par h(x) = f (x) f (−x) .
Pour tout réel x, on a :
(
h'(x) = f '(x) f (−x) + f (x) − f '(−x) )
= f '(x) f (−x) − f (x) f '(−x)
= f (x) f (−x) − f (x) f (−x)
=0
La fonction h est donc constante.
Comme h(0) = f (0) f (0) = 1 , on a pour tout réel x : f (x) f (−x) = 1 .
La fonction f ne peut donc pas s'annuler.

- Supposons qu'il existe une fonction g telle que g ' = g et g(0) = 1 .
g(x)
Comme f ne s'annule pas, on pose k(x) = .
f (x)
g '(x) f (x) − g(x) f '(x) g(x) f (x) − g(x) f (x)
k '(x) = = = 0.
( f (x)) ( f (x))
2 2


k est donc une fonction constante.
g(0) 1
Or k(0) = = = 1 donc pour tout x : k(x) = 1 .
f (0) 1
Et donc f (x) = g(x) . L'unicité de f est donc vérifiée.
 
 
Propriétés : lim e x = 0 et lim e x = +∞
x→−∞ x→+∞



D6 - Démonstrations au programme (exigible BAC) :  
- Soit la fonction g définie par g(x) = e x − x .
Yvan  Monka  –  Académie  de  Strasbourg  – www.maths-­‐et-­‐tiques.fr
  3  
Pour x positif, g '(x) = e x − 1 ≥ e0 − 1 = 0 car la fonction exponentielle est croissante.
Donc la fonction g est croissante sur ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ .
On dresse ainsi le tableau de variations :

x 0 +∞
g '(x) 0 +

g(x)
1

Comme g(0) = 1 , on a pour tout x, g(x) ≥ 1 . Et donc g(x) = e x − x ≥ 0 , soit e x ≥ x .
D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que lim e x = +∞ car lim x = +∞ .
x→+∞ x→+∞

1
- lim e x = lim e− X = lim = 0.
x→−∞ X →+∞ X →+∞ e X

 
 
Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b].
x
La fonction F définie sur [a ; b] par F(x) = ∫ a
f (t) dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est la
fonction f.

D7 - Démonstration dans le cas où f est strictement croissante (non exigible BAC) :  

- On considère deux réels x et x+h de l'intervalle [a ; b] avec h > 0 .
F(x + h) − F(x)
On veut démontrer que lim = f (x) .
h→0 h
x+h x x+h
F(x + h) − F(x) = ∫ f (x) dx − ∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx .
a a x


On a représenté ci-contre, la courbe de la fonction f
(en vert). Cette différence est égale à l'aire de la
surface colorée en rouge.
Elle est comprise entre les aires des rectangles ABFE
et ABHG.

( )
Or, Aire ABFE = h × f (x) et
( )
Aire ABHG = h × f (x + h) .
Comme f est croissante sur [a ; b], on a :
h × f (x) < F(x + h) − F(x) < h × f (x + h)
F(x + h) − F(x)
Puisque h > 0 , on a : f (x) < < f (x + h) .
h
Comme f est continue sur [a ; b], lim f (x + h) = f (x) .
h→0

F(x + h) − F(x)
D'après le théorème des gendarmes, lim = f (x) .
h h→0

- Dans le cas où h < 0 , la démonstration est analogue (les encadrements sont inversés).
On en déduit que F '(x) = f (x) .

Yvan  Monka  –  Académie  de  Strasbourg  – www.maths-­‐et-­‐tiques.fr
  4  
Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

D8 - Démonstration dans le cas d’une fonction admettant un minimum (non exigible BAC) :
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] admettant m comme minimum.
- Si m ≥ 0 : La fonction f est continue et positive sur [a ; b].
x
Alors la fonction F(x) = ∫ f (t) dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est la fonction f.
a
Comme F ' = f , on en déduit que f admet bien une primitive sur [a ; b].
- Si m < 0 : On pose g(x) = f (x) − m . La fonction g est continue et positive sur [a ; b].
x
Alors la fonction G(x) = ∫ g(t) dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est la fonction g.
a
Soit la fonction F définie par F(x) = G(x) + mx alors F '(x) = G '(x) + m = g(x) + m = f (x) .
F est donc une primitive de f sur [a ; b].
 

GÉOMÉTRIE

Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants.
Si une droite d1 de P1 est parallèle à une droite d2 de P2
alors la droite d'intersection Δ de P1 et P2 est parallèle à
d1 et d2.




D9 - Démonstration au programme (non exigible BAC) :  
Les droites d1 et d2 sont parallèles et distinctes donc elles sont coplanaires.
On appelle P le plan qui contient d1 et d2. On a alors : P1 ∩ P = d1 et P2 ∩ P = d2

Démontrons par l’ab...

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