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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: loic599
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 4
Taille Size: 180.79 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 16/05/2019
Mis à jour Updated: 16/05/2019
Uploadeur Uploader: loic599 (Profil)
Téléchargements Downloads: 1
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2099016

Description 

Asie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé

1) Soit n ∈ N∗ . Puisque la fonction fn est continue et positive sur l’intervalle [0, 1], In est l’aire, exprimée en unités
d’aire, du domaine du plan Dn compris entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction fn d’une
part, les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1 d’autre part.
Le graphique suggère que l’aire du domaine Dn converge vers l’aire du carré de sommets les points de coordonnées
(0, 0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1) ou encore il semble que la suite (In )n>1 soit convergente de limite 1.
Z1
1
2) I1 = dx = [ln(1 + x)]10 = ln(2) − ln(1) = ln(2).
0 1 + x

I1 = ln(2).

1
3) a) Soit n ∈ N∗ . Pour tout réel x de [0, 1], xn > 0 puis 1 + xn > 1 et donc 6 1 par décroissance de la fonction
1 + xn
1
t 7→ sur ]0, +∞[. On a montré que
t

1
pour tout x de [0, 1] et tout n de N∗ , 6 1.
1 + xn

Z1 Z1 Z1
1
b) Par croissance de l’intégrale, on en déduit que dx 6 1 dx avec 1 dx = 1 × (1 − 0) = 1. Donc,
0 1 + xn 0 0


pour tout n de N∗ , In 6 1.


4) Soit n > 1. Pour tout réel x de [0, 1],

1 − 1 − x2n

1 n 1 − (1 − xn ) (1 + xn ) x2n
n
− (1 − x ) = n
= n
= .
1+x 1+x 1+x 1 + xn
1 1
On en déduit que pour tout réel x de [0, 1], − (1 − xn ) > 0 ou encore 1 − xn 6 .
1 + xn 1 + xn

1
Pour tout x de [0, 1] et tout n de N∗ , 1 − xn 6 .
1 + xn


5) Soit n > 1.
Z1 1
xn+1 1n+1

1
(1 − xn ) dx = x − =1− =1− .
0 n+1 0 n+1 n+1
6) Soit n > 1. D’après la question précédente et par croissance de l’intégrale,
Z1 Z1
1 1
dx > (1 − xn ) dx = 1 − .
0 1 + xn 0 n+1
Ainsi, pour tout entier naturel non nul n,
1
1− 6 In 6 1.
n+1
 
1
Puisque lim 1− = 1, le théorème des gendarmes permet d’affirmer que la suite (In ) converge et que
n→+∞ n+1

lim In = 1.
n→+∞




1
7) a) Valeurs successives obtenues par l’algorithme.

k x I
0 0 0, 2
1 0, 2 0, 392
2 0, 4 0, 565
3 0, 6 0, 712
4 0, 8 0, 834

Si n = 2 et p = 5, l’algorithme renvoie la valeur 0, 83 arrondi au centième.
b) L’algorithme donne une valeur approchée de l’intégrale In obtenue par la méthode des rectangles. Dans le cas
n = 2 et p = 5, on a découpé l’intervalle en cinq intervalles de longueur égale à 0, 2 puis on a construit les rectangles
de hauteurs respectives f(0), f(0, 2), f(0, 4), f(0, 6) et f(0, 8). La somme des aires de ces rectangles est une valeur
approchée de I2 par excès. Cela correspond au graphique suivant :




1




0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1




2
France métropolitaine 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé

Partie A

1) f1 (0) = 0 + e0 = 1 et donc C1 passe par le point A(0, 1).
2) Dérivée de f1 . La fonction f1 est dérivable sur R en tant que somme de fonctions dérivables sur R et pour tout
réel x,

f1′ (x) = 1 + (−1) × e−x = 1 − e−x .
Variations de f1 . Soit x un réel.
• Si x < 0, −x > 0 puis e−x > 1 et donc 1 − e−x < 0.
• Si x = 0, e−x = 1 et donc 1 − e−x = 0.
• Si x > 0, −x < 0 puis e−x < 1 et donc 1 − e−x > 0.
En résumé, la fonction f1′ est strictement négative sur ] − ∞, 0[, strictement positive sur ]0, +∞[ et s’annule en 0. On
en déduit que la fonction f1 est strictement décroissante sur ] − ∞, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[.
Limite de f1 en −∞. Pour tout réel x, f1 (x) = e−x (xex + 1).
D’après un théorème de croissances comparées, lim xex = 0 et donc lim (xex + 1) = 1.
x→−∞ x→−∞
D’autre part, lim e−x = lim eX = +∞. En multipliant, on obtient lim f1 (x) = +∞.
x→−∞ X→+∞ x→−∞

Limite de f1 en +∞. lim e−x = lim eX = 0. D’autre part, lim x = +∞. En additionnant, on obtient
x→+∞ X→−∞ x→+∞
lim f1 (x) = +∞.
x→+∞

On peut dresser le tableau de variation de la fonction f1 .

x −∞ 0 +∞
f1′ (x) − 0 +
+∞ +∞
f1
1


Partie B



C1


1 C2
A

C3
C4

→ C6
j D

C15
C60


O −

i 1




1) a) Soit n un entier naturel. La fonction fn est continue et positive sur [0, 1]. Donc, In est l’aire, exprimée en
unités d’aire du domaine du plan compris entre l’axe des abscisses et la courbe Cn d’une part, les droites d’équations
respectives x = 0 et x = 1 d’autre part.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

b) Il semble que cette aire diminue quand n augmente et donc il semble que la suite (In ) soit une suite décroissante.
D’autre part, il semble que l’aire In tende vers l’aire du triangle de sommets de coordonnées respectives (0, 0), (1, 0)
1
et (1, 1) ou encore il semble que In tend vers quand n tend vers +∞.
2
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1,

...

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