Mécanique du point
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a201595
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Description
Mémo 1ère année
MECANIQUE DU POINT MATERIEL OM = r .ur + z .uz avec r≥0; 0 ≤ ≤ 2 et z ∈ .
dOM • • •
v (M ) = = r .ur + r .θ .uθ + z .uz
dt
dv (M ) d 2OM
Cinématique du point matériel γ (M ) = =
dt dt 2
•• •2 • • •• ••
Repérage du point dans le plan : = (r − r .θ ).ur + (2. r .θ + r .θ ).uθ + z .uz
a) Coordonnées cartésiennes
•
•• •2
1 d (r 2 .θ ) ••
= (r − r .θ ).ur + ).uθ + z .uz
M' r dt
y + dy OM = x .ux + y.uy avec (x , y ) ∈ 2
M
y dOM dx dy
v (M ) = = .ux + .uy • ••
dt dt dt x x
dv (M ) d OM d 2 x d 2y
2 • ••
γ (M ) = = = 2 .ux + 2 .uy y y
dt dt 2 dt dt c) Coordonnées sphériques
uy z
z M
x + dx
M
O ux x
r
r θ
θ
b) Coordonnées polaires
ur
M' ur uϕ m
OM = r .ur avec r≥0 et 0 ≤ ≤ 2 y
O
dOM d (r .ur ) dr du •
•
O
uϕ
v (M ) = = = .ur + r . r = r .ur + r .θ .uθ uθ uθ
d dt dt dt dt m
Mr x ϕ Dans le plan OMm
dv (M ) d 2OM •• •2 • • ••
uy r γ (M ) = = = (r − r .θ ).ur + (2. r .θ + r .θ ).uθ
dθ dt dt 2
OM = r .ur avec r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ et 0 ≤ φ ≤ 2π
uθ u
θ r • dOM •
•
•
•• •2 1 d (r 2 .θ ) v(t ) = = r .ur + r .θ .uθ + r .sin θ . ϕ .uϕ
= (r − r .θ ).ur + ).uθ dt
O ux r dt
Dynamique du point matériel
Repérage du point dans l’espace : Notions de forces :
a) Coordonnées cartésiennes a) Interaction gravitationnelle
G.m1 .m 2
M1(m1) r M2(m2) F1/2 = − .u
u r2
OM = x .ux + y.uy + z .uz avec (x , y , z ) ∈ 3
z
dOM dx dy dz
v (M ) = = .ux + .uy + .uz
dt dt dt dt b) Poids
M dv (M ) d OM d 2x d 2y d 2z
2
uz γ (M ) = = = .u x + .uy + 2 .uz
dt dt 2 dt 2 dt 2 dt G .m .M t G .m .M t
P =− .u ≈ − .u = m.g M(m)
r2 Rt 2
O y u = uz P
ux où g est un vecteur constant, dirigé vers le centre de la terre. Il
uy
correspond au champ de gravitation de la terre à sa surface.
x
Surface de la terre
c) Force de rappel élastique
b) Coordonnées cylindriques
Mémo 1ère année - MECANIQUE page 1/8 Mémo 1ère année - MECANIQUE page 2/8
Energie du point matériel
ux k, L0 M(m) Puissance d’une force
F = −k .(L − L0 ).ux
Puissance instantanée de la force F s’exerçant sur le point matériel M animé d’une vitesse v (M , ℜ) dans un
référentiel ℜ :
c) Réaction du support P = F .v (M , ℜ)
Travail d’une force
R = Rn + Rt réaction normale au support Rn ;
dr dW
Rn réaction tangente au support Rt caractérisant les frottements solides entre Travail élémentaire : dW = F .dr (P = F .v (M ) = F . = )
dt dt
le système et le support. B B
Travail d’une force entre deux points A et B sur la courbe (C) : W = ∫
A(C )
dW = ∫
A(C )
F .dr
Travail du poids W = −m .g.(z B − z A )
Rt
1
Travail de la force élastique W = − .k .(xB2 − x A2 )
d) Poussée d’Archimède 2
La résultante des forces de pression exercée par un fluide au repos sur un corps immergé est égale à
l’opposé du poids du volume de fluide déplacé. Energie cinétique
On tire alors : 1
MECANIQUE DU POINT MATERIEL OM = r .ur + z .uz avec r≥0; 0 ≤ ≤ 2 et z ∈ .
dOM • • •
v (M ) = = r .ur + r .θ .uθ + z .uz
dt
dv (M ) d 2OM
Cinématique du point matériel γ (M ) = =
dt dt 2
•• •2 • • •• ••
Repérage du point dans le plan : = (r − r .θ ).ur + (2. r .θ + r .θ ).uθ + z .uz
a) Coordonnées cartésiennes
•
•• •2
1 d (r 2 .θ ) ••
= (r − r .θ ).ur + ).uθ + z .uz
M' r dt
y + dy OM = x .ux + y.uy avec (x , y ) ∈ 2
M
y dOM dx dy
v (M ) = = .ux + .uy • ••
dt dt dt x x
dv (M ) d OM d 2 x d 2y
2 • ••
γ (M ) = = = 2 .ux + 2 .uy y y
dt dt 2 dt dt c) Coordonnées sphériques
uy z
z M
x + dx
M
O ux x
r
r θ
θ
b) Coordonnées polaires
ur
M' ur uϕ m
OM = r .ur avec r≥0 et 0 ≤ ≤ 2 y
O
dOM d (r .ur ) dr du •
•
O
uϕ
v (M ) = = = .ur + r . r = r .ur + r .θ .uθ uθ uθ
d dt dt dt dt m
Mr x ϕ Dans le plan OMm
dv (M ) d 2OM •• •2 • • ••
uy r γ (M ) = = = (r − r .θ ).ur + (2. r .θ + r .θ ).uθ
dθ dt dt 2
OM = r .ur avec r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ et 0 ≤ φ ≤ 2π
uθ u
θ r • dOM •
•
•
•• •2 1 d (r 2 .θ ) v(t ) = = r .ur + r .θ .uθ + r .sin θ . ϕ .uϕ
= (r − r .θ ).ur + ).uθ dt
O ux r dt
Dynamique du point matériel
Repérage du point dans l’espace : Notions de forces :
a) Coordonnées cartésiennes a) Interaction gravitationnelle
G.m1 .m 2
M1(m1) r M2(m2) F1/2 = − .u
u r2
OM = x .ux + y.uy + z .uz avec (x , y , z ) ∈ 3
z
dOM dx dy dz
v (M ) = = .ux + .uy + .uz
dt dt dt dt b) Poids
M dv (M ) d OM d 2x d 2y d 2z
2
uz γ (M ) = = = .u x + .uy + 2 .uz
dt dt 2 dt 2 dt 2 dt G .m .M t G .m .M t
P =− .u ≈ − .u = m.g M(m)
r2 Rt 2
O y u = uz P
ux où g est un vecteur constant, dirigé vers le centre de la terre. Il
uy
correspond au champ de gravitation de la terre à sa surface.
x
Surface de la terre
c) Force de rappel élastique
b) Coordonnées cylindriques
Mémo 1ère année - MECANIQUE page 1/8 Mémo 1ère année - MECANIQUE page 2/8
Energie du point matériel
ux k, L0 M(m) Puissance d’une force
F = −k .(L − L0 ).ux
Puissance instantanée de la force F s’exerçant sur le point matériel M animé d’une vitesse v (M , ℜ) dans un
référentiel ℜ :
c) Réaction du support P = F .v (M , ℜ)
Travail d’une force
R = Rn + Rt réaction normale au support Rn ;
dr dW
Rn réaction tangente au support Rt caractérisant les frottements solides entre Travail élémentaire : dW = F .dr (P = F .v (M ) = F . = )
dt dt
le système et le support. B B
Travail d’une force entre deux points A et B sur la courbe (C) : W = ∫
A(C )
dW = ∫
A(C )
F .dr
Travail du poids W = −m .g.(z B − z A )
Rt
1
Travail de la force élastique W = − .k .(xB2 − x A2 )
d) Poussée d’Archimède 2
La résultante des forces de pression exercée par un fluide au repos sur un corps immergé est égale à
l’opposé du poids du volume de fluide déplacé. Energie cinétique
On tire alors : 1