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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: thibauttt
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 29
Taille Size: 2.04 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 27/03/2019 - 00:01:09
Mis à jour Updated: 27/03/2019 - 00:09:01
Uploadeur Uploader: thibauttt (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description 

RÉSUMÉ DE COURS
MÉCANIQUE 01

I. PRODUIT SCALAIRE
I.1 Calcul du produit scalaire
  
( )
Soit i , j , k une base orthonormée directe.
     
• (
Méthode 1 : définition du produit scalaire : V1 ⋅ V2 = V1 × V2 × cos V1 , V2 )
 
• Méthode 2 : utilisation des coordonnées dans une base orthonormée directe : V1 ⋅ V2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

I.2 Propriété importante
   
• Si V1 et V2 sont orthogonaux, alors V1 ⋅ V2 = 0 . Attention, la réciproque est fausse.
           
• Si V1 ⋅ V2 = 0 ⇔ V1 × V2 × cos V1 , V2 = ( )
0 ⇔ V1 = 0 ou V2 = 0 ou V1 et V2 sont orthogonaux


II. PRODUIT VECTORIEL
II.1 Définition – Interprétation géométrique de la norme
    
Le produit vectoriel de V1 et V2 , noté V1 ^ V2 est le vecteur V tel que :
    
• V = V1 × V2 × sin α avec α = V1 , V2 ( )
     
• Quand V1 et V2 sont non nuls, on a V ⊥ V1 et V ⊥ V2
  
( )
• Le trièdre V1 , V2 , V est direct. On peut appliquer la règle de la main droite.


L’aire du parallélogramme ABCD vaut : base × hauteur = AB × CH V C D
 
= AB × AC × sin α = V1 × V2 × sin α . AC = V2
 
L’aire du parallélogramme ABCD vaut : V1 ^ V2  α
V2
A H   B
y y2 AB = V1
+ det 1 
z1 z2
x1 x2 V1 
  x x2 V2
V1 ^ V2 = y1 ^ y2 = − det 1 .
z1 z2 α
z1 z2 
x x2 V1
+ det 1
y1 y2

II.2 Propriété importante
    
• Si V1 et V2 sont colinéaires, alors V1 ^ V2 = 0 . Attention, la réciproque est fausse.
            
• Si V1 ^ V2 = 0 ⇔ V1 × V2 × sin V1 , V2 = ( )
0 ⇔ V1 = 0 ou V2 = 0 ou V1 et V2 sont colinéaires

II.3 Calcul d’un produit vectoriel
Il y a deux méthodes pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs.
• Méthode 1 : définition du produit vectoriel.
• Méthode 2 : utilisation des coordonnées dans une base orthonormée directe.
II.4 Double produit vectoriel
        
u ^ ( v ^ w) = (u ⋅ w) v − (u ⋅ v ) w
        
(u ^ v ) ^ w = (u ⋅ w) v − ( v ⋅ w) u




■ CQFR Mécanique (400-05-01) Page 1 sur 6 JN Beury
III. VITESSE ET ACCÉLÉRATION
III.1 Expression de la vitesse dans différentes bases de projection
a) Coordonnées cartésiennes 
uz
  
Référentiel : ℜ =( O ; u x , u y , u z ) r
   
OM = xu x + yu y + zu z M
  z
 dOM dl    dx  dy  dz 
v= = = xu  x + yu  y + zu
 z = ux + u y + uz
dt dt dt dt dt O 
r  uy
b) Coordonnées cylindriques uθ
  
Référentiel : ℜ =( O ; u x , u y , u z ) 
θ 
ux ur
  
OM= rur + zu z
 dr  dθ  d z  
v = ur + r uθ + u z uz
dt dt dt 
ur
c) Coordonnées sphériques M 
   θ uϕ
Référentiel : ℜ =( O ; u x , u y , u z ) 
 uθ
 r
OM = rur
    O 
v =ru  + rθu + r sin θϕ u
r θ ϕ uy

III.2 Accélération en coordonnées cylindriques 
ϕ uϕ
      
OM = rur + zu z et que v =ru  r + rθuθ + zu
 z u x

 
 dur    duθ  
 dt  = θ uθ ;  dt  = −θ ur
 ℜ  ℜ
 
   du     du        
a = 

rur + r r  +  rθuθ + rθuθ + rθ θ  + 
dt   dt 
(
zu z =  ) ( )
rur + rθuθ + rθuθ + rθu

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