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Auteur Author: dtzygufhelkqnbguqheq
Type : Classeur 3.6
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Description 

PSI du lycée Cormontaigne de Metz Année scolaire 2018-2019 par Laurent SAILLOT


SUITES DE FONCTIONS


Table des matières
1 MODES DE CONVERGENCE D’UNE SUITE DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . 1
a) Convergence simple des suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
b) Convergence uniforme des suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 RÉGULARITÉ DE LA LIMITE D’UNE SUITE DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . 3
a) Limite uniforme d’une suite de fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
b) Limite uniforme d’une suite de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
c) Théorème de la double limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
d) Interversion limite-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
e) Limite uniforme d’une suite de fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
f) Extension aux fonctions de classe C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6




Dans ce chapitre, K désigne le corps R ou le corps C et I est un intervalle de R (non vide et non réduit
à un point). Nous considérons des suites de fonctions (fn )n∈N toutes définies sur I et à valeurs dans K.

1 MODES DE CONVERGENCE D’UNE SUITE DE FONCTIONS
a) Convergence simple des suites de fonctions
Définition 1:
Soit D une partie de I.
On dit que la suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement sur D lorsque, pour tout
élément x de D, la suite numérique (fn (x))n∈N converge.
En posant f (x) = lim fn (x) pour tout x ∈ D, on définit une fonction f , appelée limite simple
n→+∞
de la suite (fn ) sur D.
Si D est la plus grande partie sur laquelle la suite (fn ) converge simplement, D est alors appelé
le domaine de convergence simple de la suite (fn ).

Remarque:
La suite de fonctions (fn ) converge simplement vers f sur D si et seulement si :

∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N (n > n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| 6 ε).

L’entier n0 dépend donc de ε et de x.
Exemple:
On pose pour tout n ∈ N et tout x ∈ R : fn (x) = xn .
Déterminer le domaine de convergence simple et la limite simple de la suite de fonctions (fn ).

b) Convergence uniforme des suites de fonctions

Proposition 1 :
On note B(I, K) l’espace vectoriel des fonctions bornées sur I et à valeurs dans K,
l’application k k∞ définie par :

∀f ∈ B(I, K) kf k∞ = sup |f (x)|
x∈I

est une norme sur B(I, K), appelée norme de la convergence uniforme (ou
norme infinie).
SUITES DE FONCTIONS Auteur : L. SAILLOT


Démonstration:
~ Pour une fonction f bornée sur I, la borne supérieure sup |f | est bien définie et est positive.
I
~ Soit f ∈ B(I, K) telle que kf k∞ = 0, alors, pour tout x ∈ I : 0 6 |f (x)| 6 kf k∞ = 0, donc f est la
fonction nulle sur I.
~ D’après les propriétés usuelles de la borne supérieure, l’homogénéité est immédiate :
∀f ∈ B(I, K) ∀λ ∈ K kλ f k∞ = sup |λ f | = sup(|λ| |f |) = |λ| sup |f | = |λ| kf k∞ .
I I I
~ Enfin, l’inégalité triangulaire : ∀(f, g) ∈ B(I, K)2
∀x ∈ I, |f (x) + g(x)| 6 |f (x)| + |g(x)| 6 kf k∞ + kgk∞ d’où kf + gk∞ 6 kf k∞ + kgk∞ .
Toutes les propriétés sont vérifiées pour conclure qu’il s’agit bien d’une norme.

Définition 2:
On dit qu’une suite de fonctions (fn )n∈N converge uniformément sur I vers une fonction
f ∈ F(I, K) lorsque la suite numérique (kf − fn k∞ ) converge vers 0.
La fonction f est alors appelée la limite uniforme de la suite (fn ) sur I.

Remarque:
Pour que cette définition ait un sens, il faut que, pour tout n ∈ N, la fonction f − fn soit bornée sur I.
Dans ce cas, la suite (fn ) converge uniformément sur I vers f si et seulement si la suite (fn − f ) converge
vers la fonction nulle dans l’espace vectoriel normé (B(I, K), k k∞ ).
De plus, la suite (fn ) converge uniformément sur I vers f si et seulement si

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N (n > n0 =⇒ kfn − f k∞ 6 ε)

ou encore

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N (n > n0 =⇒ ∀x ∈ I |fn (x) − f (x)| 6 ε).

Cette fois-ci, l’entier n0 ne dépend que de ε et il est valable pour tout x ∈ I.

Proposition 2 :
Si une suite de fonctions (fn ) converge uniformément sur I vers f , alors la suite
(fn ) converge simplement sur I vers f .

Démonstration:
Nous avons : ∀x ∈ I, 0 6 |fn (x) − f (x)| 6 kfn − f k∞ .
Comme la suite (fn ) converge uniformément sur I vers f : lim kfn − f k∞ = 0,
n→+∞
d’où lim |fn (x) − f (x)| = 0, c’est-à-dire lim fn (x) = f (x) pour tout x ∈ I.
n→+∞ n→+∞
Ainsi, la suite (fn ) converge simplement sur I vers f .

Remarque:
Autrement dit, si (fn ) converge uniformément sur I, alors la limite uniforme de (fn ) sur I coïncide avec
la limite simple de (fn ) sur I.

Corollaire 3 :
Si (fn ) converge simplement sur I vers f et s’il existe une suite (xn ) de points de I
telle que la suite (fn (xn ) − f (xn )) ne tende pas vers 0, alors (fn ) ne converge pas
uniformément sur I.
Démonstration:
En effet, soit les fonctions fn − f ne sont pas bornées sur I, d’où (fn ) ne peut pas converger uniformément
vers f sur I, soit les fonctions fn − f sont bornées et on peut écrire alors, pour toute suite (xn ) de points
de I : ∀n ∈ N |fn (xn ) − f (xn )| 6 kfn − f k∞ , donc, si la suite (fn (xn ) − f (xn )) ne tend pas vers 0, alors la
suite (kfn − f k∞ ) ne peut pas tendre vers 0, d’où (fn ) ne converge pas uniformément vers f sur I.


2
Auteur : L. SAILLOT 2 RÉGULARITÉ DE LA LIMITE D’UNE SUITE . . .


Définition 3:
On dit qu’une suite de fonctions (fn )n∈N converge uniformément vers f sur tout segment
de I lorsque, pour tout segment J contenu dans I, la suite (fn |J ) des restrictions de fn à J
converge uniformément sur J vers la restriction f|J de f à J.

Remarque:
En pratique, il n’est pas nécessaire de considérer tous les segments inclus dans I, il suffit souvent de
prouver la convergence uniforme sur une famille de segments (ou d’intervalles) (Jα )α∈A inclus dans I et
indexée par A , telle que, pour tout segment J ⊂ I, il existe α ∈ A tel que J ⊂ Jα . Par exemple :
— si I =] − ∞, +∞[, on peut considérer les segments de la forme [−A, A], où A décrit R∗+ ,
— si I = [0, +∞[, on peut considérer les segments de la forme [0, A], où A décrit R∗+ .
Exemples:
(1) Étudier la convergence uniforme sur ] − 1, 1], puis sur tout segment de ] − 1, 1[, de la suite de fonctions
fn : x 7→ xn .
(2) Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur R+ par
∀x ∈ R+ , fn (x) = x2 e−nx .
(3) Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur R+ par
n(x3 + x)e−x
∀x ∈ R+ , fn (x) = .
nx + 1

2 RÉGULARITÉ DE LA LIMITE D’UNE SUITE DE FONCTIONS
a) Limite uniforme d’une suite de fonctions bornées

Proposition 4 :
Si (fn ) est une suite de fonctions bornées sur I et si (fn ) converge uniformément
sur I vers une fonction f , alors la fonction f est bornée sur I.

Démonstration:
Comme (fn ) converge uniformément sur I vers f , alors, on peut écrire pour ε = 1 > 0 :
∃n0 ∈ N, n > n0 ⇒ kfn − f k∞ 6 ε = 1.
En particulier, ∀x ∈ I, |fn0 (x) − f (x)| 6 1. Or, la fonction fn0 est bornée sur I : ∀x ∈ I, |fn0 (x)| 6 kfn0 k∞ .
Ainsi : ∀x ∈ I, |f (x)| = |f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) 6 |fn0 (x) − f (x)| + |fn0 (x)| 6 1 + kfn0 k∞ : f est bornée !
Remarque:
La convergence uniforme d’une suite de fonctions bornées sur I correspond à la convergence dans l’espace
vectoriel normé (B(I, K), k.k∞ ).

b) Limite uniforme d’une suite de fonctions continues

Théorème 5 :
Si (fn ) est une suite de fonctions continues sur I et si (fn ) converge uniformément
vers f sur I, alors f est continue sur I.

...

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