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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description 

PSI du lycée Cormontaigne de Metz Année scolaire 2018-2019 par Laurent SAILLOT


SÉRIES DE FONCTIONS



Table des matières
1 MODES DE CONVERGENCE D’UNE SÉRIE DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . 1
a) Convergence simple des séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
b) Convergence uniforme des séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
c) Convergence normale des séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 RÉGULARITÉ DE LA SOMME D’UNE SÉRIE DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . 4
a) Continuité de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
b) Théorème de la double limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
c) Intégration terme à terme d’une série de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
d) Dérivation terme à terme d’une série de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
e) Extension aux fonctions de classe C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 SÉRIE DE FONCTIONS INTÉGRABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8




Dans ce chapitre, K désigne R ou C et I estPun intervalle
P de R (non vide et non réduit à un point). De
plus, nous considérons des séries de fonctions fn ou fn pour lesquelles toutes les fonctions fn sont
n>0
définies sur un intervalle commun I et à valeurs dans K. Pour une telle série de fonctions, nous noterons
n
X
(Sn ) la suite des sommes partielles Sn = fk : c’est une suite de fonctions.
k=0


1 MODES DE CONVERGENCE D’UNE SÉRIE DE FONCTIONS
a) Convergence simple des séries de fonctions

Définition 1:
Soit D une partie de I. P
On dit que la série P
de fonctions fn converge simplement sur D lorsque, pour tout x de D,
la série numérique fn (x) converge.P
Autrement dit, la série de fonctions fn converge simplement sur D si et seulement si la suite
(Sn ) de ses sommes partielles converge simplement sur D.P
Dans ce cas, on appelle somme de la série de fonctions fn la limite simple S de la suite de
X∞ X ∞
fonctions (Sn ) et on la note fn . Il s’agit de la fonction x 7→ S(x) = fn (x).
n=0 P n=0
Si D est la plus grande partie de I sur laquelle la série de fonctions fn converge Psimplement,
D est alors appelé le domaine de convergence simple de la série de fonctions fn .

Exemples:
Donner les domaines de convergence simple dans les cas suivants :
1
(1) fn : x 7→ x . La somme de cette série de fonctions est appelée la fonction ζ de Riemann.
n
(−1)n+1
(2) fn : x 7→ . La somme de cette série de fonctions est appelée la fonction η de Dirichlet.
nx
De plus, montrer que, pour tout x > 1 : η(x) = (1 − 21−x )ζ(x).
xn
(3) fn : x 7→
1 + x2n
SÉRIES DE FONCTIONS Auteur : L. SAILLOT


Remarque:
P
Lorsque la série de fonctions fn converge simplement sur D, nous pouvons aussi définir la suite de
+∞
X
fonctions (Rn ) des restes de la série : ∀n ∈ N, ∀x ∈ D, Rn (x) = fk (x) = S(x) − Sn (x).
k=n+1
Dans ce cas, la suite (Rn ) converge simplement sur D vers la fonction nulle.

b) Convergence uniforme des séries de fonctions

Définition 2:
P
On dit que la série de fonctions fn converge uniformément sur I lorsque la suite (Sn ) de
ses sommes partielles converge uniformément sur I.

Proposition 1 :
La convergence uniforme sur I d’une série de fonctions implique la convergence
simple sur I de cette série de fonctions.
Démonstration:
P
Si la série de fonctions fn converge uniformément sur I, alors la suite de fonctions (Sn ) converge
P unifor-
mément sur I donc elle converge simplement sur I : ce qui signifie que la série de fonctions fn converge
simplement sur I.
Proposition 2 :
P
La série de fonctions fn converge uniformément sur I si et seulement si elle
converge simplement sur I et la suite de ses fonctions restes (Rn ) converge unifor-
mément sur I vers la fonction nulle, c’est-à-dire :

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ ∀x ∈ I, |Rn (x)| = |S(x) − Sn (x)| 6 ε.
Démonstration:
P
La série de fonctions fn converge uniformément sur I si et seulement si elle converge simplement sur I et
lim kS − Sn k∞ = 0. Or, en cas de convergence : Rn = S − Sn . D’où, la proposition énoncée.
n→+∞

Exemples:
xn
(4) Montrer que la série de fonction (−1)n
P
converge uniformément sur [0, 1].
n+1
P n
(5) Montrer que x converge simplement sur ] − 1, 1[ mais ne converge pas uniformément sur ] − 1, 1[.

Proposition 3 :
P
Si la série de fonction fn converge uniformément sur I,
alors la suite de fonctions (fn ) converge uniformément sur I vers 0.
Démonstration:
Comme il y a convergence, pour tout n > 1, on a : fn = Rn−1 − Rn .
De plus, les fonctions Rn sont bornées (d’après l’hypothèse de convergence uniforme) d’où les fonctions fn
sont bornées et on a : 0 6 kfn k∞ 6 kRn−1 k∞ + kRn k∞ .
Comme kRn k∞ → 0, on a aussi kRn−1 k∞ → 0, et donc, par encadrement, kfn k∞ → 0.
Remarque:
Ainsi, en particulier, s’il existe une suite (xn ) d’éléments de I telle que la suite numérique (fn (xn )) ne
P vers 0, alors la suite de fonctions (fn ) ne converge pas uniformément vers 0, donc la série de
converge pas
fonctions fn ne converge pas uniformément sur I.
Exemple:
1 P n
(6) En utilisant cet argument et la suite xn = 1 − , justifier que x ne converge pas uniformément
n
sur ] − 1, 1[.


2
Auteur : L. SAILLOT 1 MODES DE CONVERGENCE D’UNE SÉRIE DE . . .


Définition 3:
P
On dit que la série de fonctions fn converge uniformément sur tout segment de I lorsque
la suite (Sn ) de ses sommes partielles converge uniformément sur tout segment de I.

Exemples:
xn converge uniformément sur tout segment de ] − 1, 1[.
P
(7) Montrer que

X (−1)n+1
(8) Montrer que, dans le cas de la fonction η de Dirichlet : x 7→ , la convergence est uniforme
n=1
nx
sur tout segment de R∗+ .

c) Convergence normale des séries de fonctions

Définition 4:
P
On dit que la série de fonctions fn est normalement convergente sur I lorsque :
. pour tout n ∈ N, la fonction
P fn est bornée sur I,
. et la série numérique kfn k∞ converge.

Proposition 4 :
P
S’il existe une suite (xn ) de pointsP de I telle que la série numérique |fn (xn )|
diverge, alors la série de fonctions fn ne converge pas normalement sur I.

Démonstration:
P
Démontrons la contraposée de cette proposition : si la série de fonctions fn converge normalement sur I,
alors, pour toute suite (xn ) de points de I, on a : 0 6 |fn (xn )| 6 kfn k∞P
...

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