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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: catalina20.
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 9
Taille Size: 905.11 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 07/12/2018
Uploadeur Uploader: catalina20. (Profil)
Téléchargements Downloads: 1
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a1848583

Description 

secCiÓn 9.3  Deflexiones por integración de la ecuación del momento flexionante    687


Ejemplo 9.1

q Determine la ecuación de la curva de deflexión para una viga simple AB que so­
porta una carga uniforme con intensidad q que actúa en todo el claro de la viga
(fi­gu­ra 9.8a).
A B Además, determine la deflexión máxima dmáx en el punto medio de la viga y los
ángulos de rotación uA y uB en los apoyos (figura 9.8b). (Nota: la viga tiene longitud
L y rigidez a la flexión constante EI.)
L

(a) Solución
Momento flexionante en la viga. El momento flexionante en una sección trans-
versal a una distancia x desde el apoyo izquierdo se obtiene a partir del diagrama de
y cuerpo libre de la figura 9.9. Como la reacción en el apoyo es qL/2, la ecuación para
dmáx el momento flexionante es
A B
x
qL x qLx qx 2
uA uB M (x) qx (9-14)
(9.14)
2 2 2 2
L L
— — Ecuación diferencial de la curva de deflexión. Al sustituir la expresión para el
2 2
momento flexionante (ecuación 9.14) en la ecuación diferencial (ecuación 9.12a),
(b) obtenemos

Figura 9.8  Ejemplo 9.1. Deflexiones de qLx qx 2
EIv (9-15)
(9.15)
una viga simple con una carga uniforme. 2 2

q Ahora esta ecuación se puede integrar para obtener la pendiente y la deflexión de
M la viga.
Pendiente de la viga. Al multiplicar los dos lados de la ecuación diferencial por
A
dx, obtenemos la ecuación siguiente:
V
qL
— x qL x qx2
2
EIv dx dx dx
2 2

Figura 9.9  Diagrama de cuerpo libre que Integrando cada término, da
se emplea para determinar el momento
flexionante M (ejemplo 9.1). qLx qx2
EI v dx dx dx
2
qLx q2x2
EI v dx dx dx
o 2 2
o
o
qLx 2 qx 3
EIv C1 (a)
qL4x 2 q6x 3
EIv C1 (a)
(a)
4 6

en donde C1 es una constante de integración.
Para evaluar la constante C1, observamos de la simetría de la viga y su carga
que la pendiente de la curva de deflexión a la mitad del claro es igual a cero. Enton-
ces, tenemos la siguiente condición de simetría:

L
v 0 cuando x
2

continúa




www.FreeLibros.com
688    CapÍtulo 9  Deflexiones de vigas


Esta condición se puede expresar de manera más breve como

L
v 0
2

Aplicando esta condición a la ecuación (a) da

qL L 2 q L 3 qL3
0 C1 o C1
4 2 6 2 24

Entonces la ecuación para la pendiente de la viga (ecuación a) se convierte en


2 3
qL x qx qL3
EIv (b)
4 6 24


q
o o v (L3 6Lx 2 4x 3 ) (9.16)
24EI


Como se esperaba, la pendiente es negativa (es decir, en el sentido de las manecillas
del reloj) en el extremo izquierdo de la viga (x = 0), positiva en el extremo derecho
(x = L) e igual a cero en el punto medio (x = L/2).
Deflexión de la viga. La deflexión se obtiene integrando la ecuación para la
pendiente. Por tanto, al multiplicar los dos lados de la ecuación (b) por dx e integrar,
obtenemos

qL x 3 qx4 qL 3x
EIv C2 (c)
12 24 24

La constante de integración C2 puede evaluarse a partir de la condición de que la
deflexión de la viga en el apoyo izquierdo es igual a cero; es decir, v = 0 cuando
x = 0, o


v(0) 0

Al aplicar esta condición a la ecuación (c) se obtiene C2 = 0; de aquí que la ecuación
para la curva de deflexión sea


qLx 3 q x4 qL 3x
EIv (d)
...

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