Chapitre 1 Terminale S
La divisibilité et la congruence Effectuer une division euclidienne quand le Mathématiques
dividende et le diviseur sont exprimés en
fonction de n 


SITUATION
A n d'effectuer une division euclidienne quand le dividende et le diviseur sont exprimés en fonction de n, on recherche une
mise en facteur du diviseur dans le dividende puis on discute de la valeur du quotient et du reste en fonction de n.



Soit n ∈ ℕ. Effectuer la division euclidienne de n2 + 3n + 6 par n + 2.
ETAPE 1

Rechercher une mise en facteur du diviseur dans le dividende
On peut effectuer cette recherche par étapes, en commençant par le terme de plus haut degré, comme si l'on "posait" la
division.

APPLICATION
Pour tout n ∈ ℕ :
n2 + 3n + 6 = n(n + 2) + n + 6
Puis :
n + 6 = 1 × (n + 2) + 4
Ainsi :
n22 + 3n + 6 = n(n + 2) + 1 × (n + 2) + 4
n + 3n + 6 = (n + 2)(n + 1) + 4
Cela revient à "poser" la division :

ASTUCE




ETAPE 2

Déterminer les valeurs possibles du reste en fonction de n
D'après le cours, on sait que :
Une division euclidienne est de la forme a = bq + r
, avec a, b et q des entiers relatifs et r un entier naturel tel que
0 ≤ r < |b| .
Deux cas sont possibles :
Si le reste s'exprime en fonction de n, il faut donc déterminer ses valeurs possibles qui respectent la condition 0 ≤ r < |b|.
Si le reste est une constante, il faut donc déterminer quelles sont les valeurs de n pour lesquelles 0 ≤ r < |b|
.

APPLICATION
Comme le diviseur est positif, le reste doit être strictement inférieur au diviseur.
Donc :
4 < n+2
Soit :
n>2




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de n 
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La divisibilité et la congruence Effectuer une division euclidienne quand le Mathématiques
dividende et le diviseur sont exprimés en
fonction de n 

ETAPE 3

Conclure
On conclut en donnant les valeurs du dividende, du diviseur, du quotient et du reste.

APPLICATION
On conclut que :
Pour tout entier naturel n supérieur à 2, le quotient et le reste de la division euclidienne de n2 + 3n + 6 par n + 2 sont
respectivement n+1 et 4.




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de n 
Chapitre 1 Terminale S
La divisibilité et la congruence Rechercher le reste de la division de Mathématiques
aⁿ par b




an par b, on détermine les restes successifs pour les différentes puissances de
SITUATION
A n de rechercher le reste de la division de
aet on utilise les congruences.



Déterminer les restes de la division euclidienne de 5n par 7 suivant les valeurs de n.
ETAPE 1

Déterminer les restes successifs des premières puissances de a par b
On calcule les restes successifs des premières puissances de a par b. On s'arrête pour le premier entier naturel p > 1 tel que
:
ap ≡1[b]
Le cycle est donc de p.

APPLICATION
On a les restes successifs de la division par 7 des puissances de 5 suivantes :
501 ≡1[7]
52 ≡5[7]
53 ≡4[7]
54 ≡6[7]
55 ≡2[7]
56 ≡3[7]
5 ≡1[7]
Le cycle est donc de 6.




ETAPE 2

Exprimer n en fonction p
On exprime n en fonction de p :
n = p×k+r avec 0≤r<p
APPLICATION
On divise n par 6, on obtient :
n = 6×k+r avec 0≤r<6


an
ETAPE 3

Remplacer dans l'expression de
an:
On remplace dans l'expression de
an = ap×k+rp = (ap )k × ar
Comme a ≡1[b], on en déduit que (ap ) ≡1k [b]≡1[b]
k
Donc (ap ) × ar ≡ar [b]
k
APPLICATION
a
On remplace dans l'expression den:
5n = 56×k+r = (56 )k × 5r k
Comme 56 ≡1[7], on en déduit que (56 ) ≡1k [7]≡1[7].
k
Donc (56 ) × 5r ≡5r [7].




Kartable.fr 1/2 Rechercher le reste de la division de aⁿ par b
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La divisibilité et la congruence Rechercher le reste de la division de Mathématiques
aⁿ par b



ETAPE 4

En déduire la table de congruence
Comme n r a ≡a [b]
on détermine les restes de la division euclidienne de ar par b pour 0 ≤ r < p. On reprend les v...