Chapitre 8 Terminale S
Les lois de Kepler Appliquer la deuxième loi de Newton au Physique-Chimie
mouvement d'une planète




SITUATION
Le mouvement des planètes et des satellites se résume à l'étude de l'interaction gravitationnelle entre un objet en
mouvement de masse m et un astre attracteur de masse M (M étant très grand devant m).
Dans le cadre des mouvements circulaires uniformes, l'application de la deuxième loi de Newton permet de déterminer
l'expression de la vitesse orbitale du système en mouvement.



Titan est l'un des satellites imposants de Saturne. À l'aide de la deuxième loi de Newton, déterminer l'expression de sa
v
vitesse orbitale T . On considérera le mouvement de Titan comme circulaire uniforme autour de Saturne.




ETAPE 1

Dé nir le référentiel attaché à l'astre attracteur
On dé nit le référentiel supposé galiléen attaché à l'astre attracteur :
Si la Terre est l'astre attracteur, le référentiel est le référentiel géocentrique.
Si le Soleil est l'astre attracteur, le référentiel est le référentiel héliocentrique.

APPLICATION
Le référentiel, supposé galiléen, est le référentiel "géocentrique" centré sur Saturne, également appelé référentiel
saturnocentrique.




ETAPE 2

Dé nir le système en mouvement autour de l'astre attracteur
On dé nit le système en mouvement autour de l'astre attracteur.

APPLICATION
Le système est le satellite Titan en révolution autour de Saturne.




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ETAPE 3

Faire le bilan des forces
On effectue le bilan des forces. Il se limite à l'interaction gravitationnelle entre l'astre attracteur et le système.

APPLICATION
Pour effectuer le bilan des forces, on regarde les forces en présence. Il n'y a que la force d'interaction gravitationnelle
entre Saturne et Titan.




ETAPE 4

−
→
Exprimer la force de gravitation universelle Fg modélisant l'interaction
gravitationnelle entre le système S et l'astre attracteur A

−F−g→ = G × m × M × −→
On exprime la force d'interaction entre le système S et l'astre attracteur A :
e−
A/S
Avec :
r 2 S/A
G la constante universelle de gravitation (dont la valeur est donnée dans l'énoncé)
r la distance entre le système S et l'astre attracteur A (en m)

APPLICATION


−F−−g→ = G × MS × MT × →u
Cette force entre Titan et Saturne est :

S/T
Avec :
r2
G la constante universelle de gravitation
r la distance entre Titan et Saturne
M→ M
S et T respectivement les masses de Saturne et de Titan
u un vecteur unitaire selon la droite (TS)

ETAPE 5

Rappeler la deuxième loi de Newton
On rappelle la deuxième loi de Newton : dans un référentiel galiléen, la variation temporelle de la quantité de mouvement est

−−→
égale à la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur le système.
−−→
m × a(t) = dp(t)
dt ∑ = −F→i
i
APPLICATION
Dans un référentiel galiléen, la variation temporelle de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces


−→ −−→ −→
extérieures qui s'appliquent sur le système. On a alors :
− dp(t)
m × a(t) = dt = ∑ Fi
i




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ETAPE 6

Appliquer la deuxième loi de Newton dans le cas du système S

−−→ d−p−−S (t)→ −−→
On applique la deuxième loi de Newton dans le cas du système S en interaction avec l'astre attracteur A :
−
m × aS (t) = dt = FgA/S
−−− →
⇔ m × aS (t) = G × m r×2 M × −→
e−S/A
⇔ m × aS (t) = G × m r×2 M
APPLICATION



−−−→ −p−−→
Dans le cas de Titan, on obtient :

MT × aT (t) = dtT = −F−−g→S/T
d (t)
−−−→ M × M
MT × aT (t) = G × r 2 S × →u
T
MT × aT (t) = G × MT r×2 MS

ETAPE 7

Rappeler la relation liant l'accélération, la vitesse et le rayon de l'orbite lors d'un
mouvement circulaire uniforme
On rappelle que dans le cas où le mouvement est circulaire uniforme, l'accélération aS (t) du système est liée à sa vitesse
v (t) 2
S et au rayon de l'orbite r par la relation suivante :
v
aS (t) = r
S (t)
APPLICATION
Or, dans le cas où le mouvement est circulaire uniforme, l'accélération aT (t) de Titan est donnée par la formule :
v2T (t)
aT (t) = r

ETAPE 8

Remplacer l'accélération par son expression dans la seconde loi de Newton

m × M aS (t) par son expression en fonction de la vitesse et du rayon dans la seconde loi de Newton :
On remplace l'accélération
m × aS (t) = G × r 2
v2S (t)
⇔ m × r = G × m r×2 M
APPLICATION
Ainsi, on obtient :
MT × aT (t) = G × MT r×2 MS
v2T (t)
MT × r = G × MT r×2 MS




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vS en fonction des autres
ETAPE 9

Manipuler la relation pour exprimer la vitesse orbitale
...