Chapitre 7 Terminale S
Les lois de Newton Déterminer les composantes des vecteurs Physique-Chimie
vitesse et accélération à partir de la position




SITUATION
Les composantes des vecteurs vitesse et accélération se déduisent des composantes du vecteur position par dérivations
successives.



−→
− → → →
Un mobile suit une trajectoire décrite par l'équation horaire OM (t) = (25t) i + (−5t + 15t + 3) j + k . En déduire les
2
composantes des vecteurs vitesse et accélération.



ETAPE 1

−−−−→
Relever les composantes du vecteur position OM (t)

On relève les composantes(x(t),y(t),z(t)) du vecteur position −OM
−−−(t)→.
APPLICATION
−−−−→
Les composantes du vecteur position OM (t) sont :
x(t) = 25t 2
y(t) = −5t + 15t + 3
z(t) = 1

ETAPE 2

−−−→
Déterminer les composantes du vecteur vitesse vM (t) par dérivation
−−−→
On détermine les composantes (vMx (t), vMy (t), vMz (t)) du vecteur vitesse vM (t) en dérivant les composantes du vecteur
position par rapport au temps.

APPLICATION
On sait que :
−v−− → −→
dOM−
M (t) = dt
On détermine donc les composantes du vecteur vitesse :
vx (t) = dxdt = 25
dy
vy (t) = dt = −10t + 15
vz (t) = dzdt = 0

ETAPE 3

−−−→
Déterminer les composantes du vecteur accélération aM (t) par dérivation

On détermine les composantes Mx a( (t), aMy (t), aMz (t)) du vecteur accélération −a−−−→
(t)
M en dérivant les composantes du
vecteur vitesse par rapport au temps.

APPLICATION


−a−−− → −→M
De plus, on sait que :
dv
M (t) = dt
On obtient donc les composantes du vecteur accélération :
ax (t) = dvdtx = 0
ay (t) = dvdty = −10
az (t) = dvdtz = 0


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Chapitre 7 Terminale S
Les lois de Newton Déterminer les composantes des vecteurs Physique-Chimie
vitesse et position à partir de l'accélération




SITUATION
Les composantes des vecteurs vitesse et position se déduisent des composantes du vecteur accélération par intégrations
successives.



→g . Déterminer les composantes
de
−a−−−
M
→ ,
−
v−−
M
→
(t) et
−−−−
OM →
Une pomme tombe d'un arbre sans vitesse initiale en subissant l'accélération de pesanteur
(t) (t) pour chaque instant t.




ETAPE 1

−−−→
Relever les composantes du vecteur accélération aM (t)

On relève les composantes a( Mx (t), aMy (t), aMz (t)) du vecteur accélération −a−−−→
(t)
M .
APPLICATION
→ −−−−→
La pomme ne subit que l'accélération de pesanteur g dirigée selon (Oz), on obtient les coordonnées de aM (t) :
ax (t) = 0
ay (t) = 0
az (t) = −g

ETAPE 2

−−−→
Déterminer les composantes du vecteur vitesse vM (t) par intégration

On détermine les composantes Mx v( (t), vMy (t), vMz (t)) du vecteur vitesse −v−−→
(t)
M en intégrant les composantes du vecteur
accélération par rapport au temps.

APPLICATION

Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse
−v−−→
(t)
M :
vx (t) = v0x
vy (t) = v0y
vz (t) = −gt + v0z
La pomme n'ayant pas de vitesse initiale, on sait que :
v0x = v0y = v0z = 0
Ainsi :
vx (t) = 0
vy (t) = 0
vz (t) = −gt




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Les lois de Newton Déterminer les composantes des vecteurs Physique-Chimie
vitesse et position à partir de l'accélération



ETAPE 3

−−−−→
Déterminer les composantes du vecteur position OM (t)

On détermine les composantes (x(t),y(t),z(t)) du vecteur position −OM
−−−(t)→ en intégrant les composantes du vecteur
vitesse par rapport au temps.

APPLICATION
−−−−→ − −−−→
Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur position OM (t) à partir de VM (t) :
x(t) = x0
y(t) = y0
z(t) = − 12 gt 2 + z0
−−−−→
À l'instant initial, la pomme était en (0,0,h) . Les composantes du vecteur position OM (t) sont donc ...