Tema 3 INTRODUCCIÓ A L’ANÀLISI DE XARXES HIDRÀULIQUES

1. Conceptes generals
2. Equacions generals que governen el flux en una xarxa
3. Fórmula exponencial per les pèrdues de càrrega contínues en un tub
4. Relació entre la fórmula exponencial i l’equació de Darcy-Weisbach
5. El mètode de les Q-eqs. ò de Hardy Cross
6. El mètode de les ∆Q -eqs.
7. El mètode de les H -eqs.
8. Sistematització del mètode de les H-eqs.
9. Introducció de bombes en un circuit hidràulic

1. Conceptes generals
El concepte general de xarxa s’utilitza en xarxes de distribució d’aigua, d’electricitat, en
xarxes de transports, de comunicacions, etc. En el sentit general una xarxa és un conjunt
de punts connectats entre ells. Una xarxa està constituïda per punts ò nodes i per
elements connectors entre ells, tubs en una xarxa hidràulica.

Des d’un punt de vista matemàtic una xarxa de N nodes {1, ..., N} es pot definir com un
subconjunt del conjunt producte {1, ..., N}×{1, ..., N} on cada element (i, j), amb i≠j,
denota la connexió entre el node i i el node j.

Una xarxa de N nodes es pot representar mitjançant una matriu quadrada N×N on
l’existència d’una connexió entre el node i i el node j es representa amb un valor no nul
en la posició i, j de la matriu. Evidentment, aquesta és una matriu simètrica ja que si hi
ha un tub que connecta i amb j també j està connectat amb i (mateix tub). Cap de les
files (columnes) de la matriu pot ser buida, ja que això denotaria la presència d’un node
aïllat (no connectat amb cap altre) i tots els elements de la diagonal són buits. Cada punt
de la matriu triangular superior (inferior) es correspon amb un únic tub de la xarxa (Fig.
3.1A). Una xarxa també es pot representar amb una matriu de dues columnes i tantes
files tubs tingui la xarxa, el primer element d’una fila és el número del node de sortida
del tub i el segon el número del node d’arribada (Fig. 3.1B). En totes dues
representacions queda implícitament definit el sentit del tub.

Tub Nodes
1 nº i j
1 2 3 4 5 6 7
6 1 1 1 2
1
7 2 2 2 3
2 3 2 4
2 3 3
4 4 2 5
4 3 6 5 5 4
5
5
8 7 6 6 3 4
5
7 7 4 6
4 8 4 7

(A) (B)
Figura 3.1. Esquema d’una xarxa de 7 nodes i 8 tubs. A) Representació amb la matriu d’interconnexions
nodals; B) Representació amb la matriu de tubs.

Es diu que una xarxa és ramificada (branched network) si té una estructura similar a les
branques d’un arbre i per tant hi ha un sol itinerari per anar d’un node a un altre de la
xarxa (Fig. 3.2A). Una xarxa es diu que és mallada si (looped network) si hi ha més


1
d’un itinerari per anar d’un node a un altre (Fig. 3.2B). La xarxa de la Fig. 3.1 no és ni
estrictament ramificada ni estrictament mallada.

Una malla és qualsevol itinerari que partint d’un node de la xarxa retorna al mateix node
passant només un cop pels tubs. Així, en la xarxa de la Fig. 3.1 els itineraris 2-3-4-2 i
2-3-4-5-2 són dues malles diferents. Una pseudomalla és un itinerari que connecta dos
punts d’energia hidràulica coneguda, per exemple 1-2-3-6 i 1-2-5-4-3-6 de la Fig. 3.1.




A B

Figura 3.2. Dues configuracions típiques d’una xarxa: A) Xarxa ramificada; B) Xarxa mallada.

El problema general de determinar el punt de funcionament d’una xarxa hidràulica pot
definir-se així: Conegudes les característiques de la xarxa (esquema d’interconnexions,
longituds, diàmetres, rugositat dels tubs, cotes nodals) i les condicions de contorn (punts
d’entrada i sortida d’aigua de la xarxa, nodes amb pressió fixada, punts o tubs amb
cabal fixat), determinar les alçàries energètiques de cada node i els cabals que circulen
per cada tub.

2. Equacions generals que governen el flux en una xarxa
L’anàlisi d’una xarxa hidràulica es basa en l’aplicació de l’equació de continuïtat i
l’equació de l’energia. En la situació general a cada node de la xarxa hi ha un cabal
nodal Qi que brolla ( Qi >0) del node o bé s’hi injecta ( Qi <0) directament. S’adopta el
criteri de signes de considerar positiu tot cabal que surti del node (Fig.3.3), evidentment,
si el cabal Qij és positiu llavors el cabal Qji serà negatiu, és a dir,

Q ji  Qij . (3.1)

Qi Hj
j=1 2 j
Qi1 Qij
j Qij
Hi
i 1
Qi2 i

j=2
Figura 3.3. Criteri de signes adoptat: el cabal Qij és Figura 3.4. L’equació de l’energia s’aplica
positiu si va del node i cap al node j, i negatiu si va en entre les seccions extremes d’un tub. el
cabal va sempre del node de més energia al
sentit contrari. El cabal Qi és positiu si surt del node i. de menys.


2
L’equació de continuïtat per a un determinat node i s’expressa,

Qj
ij  Qi  0 (3.2)

on Qij és el cabal que surt del node i cap al node j , i Qi és el cabal que brolla del node i.

Equació de l’energia. S’admet que tots els punts d’un node tenen la mateixa energia
hidràulica Hi. Així, l’aplicació de l’equació de l’energia en un tub, entre la secció 1 a la
sortida del node i i la secció 2 a l’entrada al node j (Fig. 3.4), proporciona,
P v2 Pj v 2j
zi  i  i  z j   h ,
 2g  2 g ij
és a dir,
H i  H j  hij , (3.3)
essent Hi i Hj les alçàries energètiques dels nodes,
Pi vi2
H i  zi   , (3.4)
 2g
i hij les pèrdues de càrrega en el tub. Observis que si el tub té diàmetre constant sempre
es verifica que vi = vj i llavors l’eq. 3.3 continua essent vàlida si Hi s’interpreta com
l’alçària piezomètrica nodal: Hi=zi+Pi/γ.

3. Fórmula exponencial per les pèrdues de càrrega contínues en un tub
Les pèrdues de càrrega contínues hij en un tub pel que hi circula el cabal Qij es poden
expressar amb la següent fórmula exponencial,
hij  K ij Qijnij , (3.5)
on Kij i nij són valors reals positius que es mantenen constants per a un determinat
interval de cabals. L’eq. 3.5 és àmpliament utilitzada en enginyeria degut a la seva
simplicitat, és una recta en un diagrama a doble escala logarítmica, i els valors de Kij i
nij sovint s’obtenen a partir de dades experimentals. La representació gràfica de l’eq. 3.5
per a cabals positius és aproximadament una paràbola, però perd sentit físic si Qij <0
perquè pot generar nombres complexes.

1
hij n>
1
n=



-Q1
Q1 Qij




Figura 3.5. La funció exponencial generalitzada per les pèrdues de càrrega contínues en un tub. En
vermell l’extensió de l’eq. 3.5 per a cabals negatius. La funció és antisimètrica. La línia discontínua
correspon al règim laminar (n=1).

En l’anàlisi d’una xarxa a vegades no és conegut el sentit del cabal en un tub i és útil
l’extensió de l’eq. 3.5 de manera que pugui operar amb valors negatius del cabal. Així,


...