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7.Fonction logarithme


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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: sazmiti
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 3
Taille Size: 171.46 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 14/02/2018
Uploadeur Uploader: sazmiti (Profil)
Téléchargements Downloads: 2
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a1365057

Description 

T STI2D – C7 Fonction logarithme 1

I. Étude de la fonction logarithme népérien
Définition : La fonction logarithme népérien est la primitive sur ]0 ;+∞[ de la fonction inverse qui s’annule en 1. Elle est notée
ln.
1
On a donc ln 1=0 et ln ' x=
x

Propriété : La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[

Propriété : lim ln x=−∞ et lim ln x=+∞
x→ 0 x →+∞


Tableau de variations Courbe représentative
y
x 0 +∞
1
f ' ( x) +
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
+∞
-1
f ( x)
-2
–∞
-3


Résolution d’équation ou d’inéquation avec des logarithmes -4

Propriété 1 : Soit x et y deux nombres strictement positifs :
ln x=ln y si et seulement si x= y
ln x <ln y si et seulement si x< y

Propriété 2 : Soit x un nombre strictement positif :
ln x <0 si et seulement si x∈] 0 ; 1 [
ln x=0 si et seulement si x=1
ln x >0 si et seulement si x∈]1 ;+∞ [

Le nombre e
Propriété : L’équation ln x=1 a une unique solution : le nombre e

On a ln e=1 et e≃ 2,718

Exercice résolu 1 : Résoudre l’équation ln ( x+ 2)=1

Pour définir le logarithme, il faut que x+2>0 donc x>−2 . On cherche donc à résoudre cette équation sur ]−2;+∞[
On a ln ( x+ 2)=ln e . Cette équation est équivalente à x+ 2=e et donc x=e−2 . Comme e−2∈]−2 ;+∞[ alors l’équation a
une unique solution S={e-2}
2
Exercice résolu 2 : Résoudre l’inéquation ln (−4 x +5 x)⩽0

Il faut d’abord étudier le signe du trinôme -4x²+5x. Les deux racines sont 0 et 1,25. Le tableau de signe est

x –∞ 0 1,25 +∞ -4x²+5x est positif sur ]0;1,25[.
2
– 0 + 0 – On résout donc l’inéquation sur cet intervalle.
−4 x +5 x

2 2 2
On cherche à résoudre ln (−4 x +5 x)⩽ln 1 . cette inéquation est équivalente à −4 x +5 x⩽1 et donc −4 x +5 x−1⩽0

Il faut maintenant étudier le signe de ce trinôme sur ]0;1,25[. Les deux racines de ce trinôme sont 0,25 et 1. On a alors le tableau :

x 0 0,25 1 1,25 L’ensemble solution de l’inéquation est alors
2
−4 x +5 x−1 – 0 + 0 – S=]0;0,25]U[1;1,25[

Autres limites à connaître

ln x ln x
lim =0 et plus généralement , pour tout n⩾1 ; lim =0
x →+∞ x x →+∞ xn
T STI2D – C7 Fonction logarithme 2

ln x
Exercice résolu 3 : Déterminer lim
x →+∞ 2 x−3
ln x ln x ln x 1 1 1 ln x ln x
= = × or lim = et lim =0 donc lim =0
2 x−3
x 2− ( )
3
x
x
2−
3
x
x →+∞
2−
1 2
x
x →+∞ x x →+∞ 2 x−3




II. Propriétés algébriques
La fonction logarithme est une solution de l’équation fonctionnelle f (ab)= f (a )+ f (b) donc

Propriété 1 : Pour tous nombres a et b strictement positifs, ln (ab)=ln a +ln b

Exemple : ln 21=ln (3×7)= ln 3+ ln 7

1
Propriété 2 : Pour tout nombre b strictement positif, ln ( )=−ln b
b

1 1 1 1 1
Démonstration : lorsque a = on a ln ( ×b)=ln + ln b donc 0=ln +ln b donc ln ( )=−ln b
b b b b b

1
Exemple : ln ( )=−ln 2 donc ln 0,5=−ln 2
2

a
Propriété 3 : Pour tous nombres a et b strictement positifs, ln ( )=ln a−ln b
b

a 1 1
Démonstration : ln ( )=ln (a × )=ln a + ln =ln a−ln b
b b b


Exemple : ln 3=ln ( 62 )=ln 6 – ln 2
n
Propriété 4 : Pour tout nombre a strictement positif et tout nombre entier n, ln (a )=n ln a

Démonstration dans le cas n positif : ln (a n)=ln( a×a ×...×a )=ln a +...+ln a= n ln a
8 2
Exemple : ln 4 =8 ln 4 ; ln x =2 ln x pour tout x>0

1
Propriété 5 : Pour tout nombre a strictement positif , ln ( √ a )= ln a
2

2 1
Démonstration : ln a=ln ( √ a )=2 ln √ a d’après la propriété 4 donc ln ( √ a )= ln a
2

1
Exemple : ln 3=ln √ 9= ln 9
2

Propriété 6 : Pour tout nombre entier n, ln (e n)=n
n
Démonstration : ln e =n ln e=n d’après la propriété 4
8
Exemple : ln e =8

Exercice résolu 4 :
n n
a) Déterminer le plus petit entier n tel que 0,9 <0,001 b) Déterminer le plus petit entier n tel que 1,04 >5000
n n
on a alors ln 0,9 < ln 0,001 on a alors ln 1,04 >ln 5000
donc n ln 0,9<ln 0,001 donc n ln 1,04>ln 5000
ln 0,001 ln 0,001 ln 5000 ln 5000
donc n > or ≃65,56 donc n > or ≃217,2
ln 0,9 ln 0,9 ln 1,04 ln 10
donc n⩾66 donc n⩾218
T STI2D – C7 Fonction logarithme 3

III. Fonction de la forme ln u
Dans tout ce paragraphe, u désigne une fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I.
La fonction x → ln (u( x)) définie sur I est noté ln u

u'
Propriété : La fonction ln u est dérivable sur I et (ln u) '=
u

Exercice 1 : Calculer la dérivée de chaque fonction

a) 2
f ( x)=ln ( x + 1) b) g ( x)=ln( cos x) sur 0 ; π
2 ] [ c) h ( x)=ln ( 1x ) sur ] 0 ;+∞[




u'
Propriété : Les primitives d’une fonction de la forme sont de la forme ln u+C où C est un nombre réel.
u

Exercice 2 : Calculer une primitive de chaque fonction
2
2 cos x ...

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