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5.Limites de fonctions


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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: sazmiti
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 5
Taille Size: 309.13 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 14/02/2018
Uploadeur Uploader: sazmiti (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a1365053

Description 

T STI2D – C5 Limites de fonctions 1

I. Limite finie d’une fonction en l’infini, asymptote horizontale
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a,+∞[ et L un nombre réel.
Si, pour tout entier naturel k, la distance entre f(x) et L est inférieure à 10− k (c’est-à-dire | f ( x)−L|<10−k )
dès que x est supérieur à un certain seuil, on dit alors que f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞. On note
lim f (x)=L
x →+∞


Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a,+∞[et (C f ) sa courbe représentative
Si lim f (x)=L alors on dit que la droite d’équation y=L est asymptote à la courbe (C f ) en +∞.
x →+∞


1
Exemple : Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; 2[∪] 2;+ ∞[ par f (x )=1+
x−2
lim f (x)=1 donc la droite d’équation y=1 est asymptote à (C f ) en +∞
x →+∞




Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]-∞,a[ et L un nombre réel.
Si, pour tout entier naturel k, la distance entre f(x) et L est inférieure à 10− k (c’est-à-dire | f ( x)−L|<10−k )
dès que x est inférieur à un certain seuil, on dit alors que f(x) tend vers L lorsque x tend vers -∞. On note
lim f (x )=L
x →−∞


Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ]-∞;a[et (C f ) sa courbe représentative
Si lim f (x )=L alors on dit que la droite d’équation y=L est asymptote à la courbe (C f ) en -∞.
x →−∞


1
Exemple : Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; 2[∪] 2;+ ∞[ par f (x )=1+
x−2
lim f (x )=1 donc la droite d’équation y=1 est asymptote à (C f ) en -∞
x →−∞


II. Limite infinie d’une fonction en un point, asymptote verticale
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de la forme ]a;b] ou [b;a[ (a et b réels).
• Si, pour tout entier naturel k, on peut rendre f(x) supérieur à limx→a f(x)=+∞ pour tout x de I suffisamment proche
de a, on dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a et on note lim f ( x)=+∞
x→ a
• Si, pour tout entier naturel k, on peut rendre f(x) inférieur à −10k pour tout x de I suffisamment
proche de a, on dit que f(x) tend vers -∞ quand x tend vers a et on note lim f ( x)=−∞
x→ a


Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de la forme ]a;b] ou [b;a[ (a et b réels).
Si lim f (x)=+∞ ou lim f ( x)=−∞ alors on dit que la droite d’équation x=a est asymptote à la courbe
x→ a x→ a
(C f ) .

Remarque : on pourra différencier les limites à droite ou à gauche de a en utilisant les notations
lim f ( x) pour la limite « à gauche » de a. C’est-à-dire lorsque x se rapproche de a en étant inférieur à a.
x→ a
x<a
lim f ( x) pour la limite « à droite » de a. C’est-à-dire lorsque x se rapproche de a en étant supérieur à a.
x→ a
x>a


1
Exemple : Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; 2[∪] 2;+ ∞[ par f (x )=1+
x−2
lim f ( x)=−∞ et lim f ( x)=+∞ donc la droite d’équation x=2 est asymptote à (C f ) .
x→ 2 x→ 2
x<2 x>2
T STI2D – C5 Limites de fonctions 2

III. Limite infinie d’une fonction en l’infini

Définition : Soit f une fonction définition sur un intervalle ]a;+∞[.
Si, pour tout entier naturel k, on peut rendre f(x) supérieur à 10k dès que x est supérieur à un certain seuil,
on dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ et on note lim f ( x)=+∞
x →+∞


Remarque : On définit de manière analogue lim f (x)=−∞ , lim f (x )=+∞ et lim f (x )=−∞
x →+∞ x →−∞ x →−∞




IV. Limites des fonctions de référence

Nom de la Ensemble de
Forme Limites
fonction définition
lim k=k et lim k=k
Fonction
constante
x→k,
k réel
ℝ x →+∞ x →−∞


lim x n=.. .
x→ x n , x →+∞
Fonction n
puissance entier naturel
ℝ Si n est pair, lim x n=.. .
x →−∞
non nul
Si n est impair, lim x n=.. .
x →−∞
Fonction
racine x→ √x [0;+∞[ lim
x →+∞
√ x=+ ∞
carrée

1 1
lim =.. . lim =...
Fonction
1 x →+∞ x x →−∞ x
x→ ]-∞;0[U]0;+∞[
inverse x 1 1
lim =... lim =...
x→ 0 x x→ 0 x
x>0 x<0




Remarque 1 : Lorsque l’on détermine une limite en a, les fonctions ne sont pas définies en a. Dans le cas
contraire on a le résultat ci-dessous.

Limite d’une fonction en un point de son ensemble de définition
Soit f une fonction polynôme, rationnelle, sinus, cosinus ou racine carrée définie sur un intervalle I
contenant le réel a. On a alors lim f ( x)=f ( a)
x→ a




Exemple : Soit f la fonction carrée. lim x 2=f (5)=25
x→ 5




Remarque 2: Il est parfois impossible de déterminer des limites : C’est le cas de lim cos x ou lim sin x
x →+∞ x →+∞
T STI2D – C5 Limites de fonctions 3

V. Opérations sur les limites
Dans tout ce paragraphe : α désigne un réel, ou +∞ ou -∞
∞ désigne +∞ ou - ∞
FI : forme indéterminée , signifie qu’il n’y a pas de résultat général pour conclure

a) somme de deux fonctions

Si lim u ( x) est égale à : Et si lim v (x) est égale à : alors lim u (x)+v ( x ) est égale à :
x →α x →α x →α

L L’
L +∞
L -∞
+∞ +∞
-∞ -∞
+∞ -∞

Exercice 1 :

a) lim
1
x →+∞ x
=.. . et lim 3=.. . donc lim
x →+∞
1
x →+∞ x
+ 3 =.. . ( )
b) lim x 2=... et lim x 3=... donc lim ( x 2 + x 3)=.. .
x →+∞ x →+∞ x →+∞
2
c) lim x =.. . et lim x=.. . donc lim ( x 2+ x )=.. .
x →−∞ x →−∞ x →−∞

d) 3
lim x =.. . et lim 1=... donc lim ( x 3 +1 )=.. .
x →−∞ x →−∞ x →−∞




b) produit d’une fonction par un réel non nul


Si lim u ( x) est égale à : alors lim k×u(x )est égale à :
x →α x →α

L

Remarque : Dans le dernier cas, c’est la règle des signes qui permet de conclure.
Par exemple si k <0 et lim f ( x)=−∞ alors lim k×f (x)=+∞
...

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