Aeroelasticidad y Aerodin´ amica Num´erica
M´aster en Ingenier´ıa Aeron´autica, 2o A




TEMA 4
AEROELASTICIDAD ALAS RECTAS


MODELO ESTRUCTURAL DEL ALA RECTA
ACOPLAMIENTO DEL MODELO
´
ESTRUCTURAL–AERODINAMICO




Dr. Mario L´azaro
Dto. Mec´anica de los Medios Continuos y Teor´ıa de Estructuras
Universidad Polit´ecnica de Valencia
´Indice
1. Introducci´
on 2

2. Modelo aproximado de deformaci´ on 2
2.1. Las funciones de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Expresi´on compacta y notaci´on matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Matriz de rigidez 5

4. Matrices de acoplamiento 6

5. Distribuci´
on de la sustentaci´
on y del coeficiente de sustentaci´
on 11

6. Ejemplo 12


1. Introducci´
on
Los objetivos m´as importantes de este tema son:

Definir los grados de libertad estructurales

Construir un modelo estructural del ala a flexi´on y a torsi´
on: obtener la matriz de rigidez a flexi´on y
torsi´
on

Obtener matrices de acoplamiento estructural entre los gdl aerodin´
amicos y estructurales.

Obtener la distribuci´
on de sustentaci´
on para un ala deformable


2. Modelo aproximado de deformaci´
on
Asumiremos que el ala es el´ astica y puede deformarse, algo que influir´a en la distribuci´ on de la sustentaci´
on.
Para poder expresar la deformaci´ on en forma matem´atica consideraremos que (i) los perfiles se deforman sufrien-
do una traslaci´on m´as una rotaci´on localizada en ele eje el´astico. Asumiremos que el eje el´astico se encuentra
en la coordenada x = xe = ab y (ii) la deformaci´ on es sim´etrica respecto al plano xOz. En la Fig. 1 se muestra
una vista general 3D del ala. Se considera que la deformaci´ on en el plano xOz es nula (desplazamiento y giro
nulos) en el plano de simetr´ıa. Consideraremos en general que la cuerda es variable c = c(y) y que tanto la
rigidez a flexi´on EI(y) como a torsi´on GJ(y), localizadas en el eje el´astico, son tambi´en variables. Los resultados
mostrados aqu´ı ser´an v´alidos para alas de gran alargamiento y rectas (flecha nula).

En general la deformaci´ on de la estructura es inc´ognita y ser´a funci´on de la velocidad de vuelo y de las
caracter´ısticas aerodin´
amicas. Tal y como se ha introducido, el desplazamiento de cualquier punto del ala se
puede expresar como la suma de una traslaci´on y una rotaci´on alrededor del eje el´astico (EE en la Fig. 1).

Traslaci´
on (desplazamiento vertical): w(η) define el movimiento vertical del eje el´astico (x = xe ), del perfil
localizado en y = bη/2. Positivo en direcci´on +z y tomando valores en −b/2 ≤ y ≤ b/2, o en t´erminos
adimensionales −1 ≤ η ≤ 1, siendo b la envergadura del ala.

Rotaci´on: θ(η) es el giro del perfil alrededor del eje el´astico localizado en y = bη/2, positivo en la direcci´on
+y

Ambas funciones permiten obtener el desplazamiento de cualquier punto del plano medio del ala con coordenadas
(x, y). Como resultado se obtiene una superficie deformada cuya expresi´ on matem´atica veremos posteriormen-
te. En general la formulaci´ on de las ecuaciones del movimiento del ala resulta en un sistema de ecuaciones
diferenciales en las funciones w(η) y θ(η). En lugar de afrontar el problema general, se usar´an aproximaciones
polin´omicas para w(η) y θ(η) las cuales nos permitir´an trabajar en un dominio discreto. Como es sabido la
modelizaci´on mediante elementos finitos asume que el comportamiento en todo el dominio es una interpolaci´ on
a partir de ciertos valores obtenidos en determinados puntos denominados nodos. En nuestro caso, el ala se
modeliza mediante un u ´nico elemento 3 nodos como el representado en la figura (entre y = 0 y y = b/2. Dicho
elemento se extiende de forma sim´etrica a la parte con y < 0. En cada uno de los nodos se consideran los grados




2
 Figura 1: Modelo estructural


η=0 η = 1/2 η=1
Despl. de flexi´on, w(η) w(0) = 0, w′ (0) = 0 w(1/2) = w1 w(1) = w2
Rotaci´
on a torsi´ on, θ(η) θ(0) = 0 θ(1/2) = θ1 θ(1) = θ2

Cuadro 1: Restricciones impuestas para la obtenci´
on de los polinomios de interpolaci´
on para w(η) y θ(η)


de libertad movimiento y giro, wj , θj , 1 ≤ j ≤ 2. Estas 4 variables ser´an las inc´ognitas de nuestro sistema y se
organizan en un vector adimensional.
u = {w1 /b, θ1 , w2 /b, θ2 }T (1)
Donde se recuerda que b es la envergadura. Conocido el vector (columna) definido arriba, se puede obtener el
desplazamiento de cualquier punto del ala. El objetivo es pues poner la deformaci´ on continua del eje el´astico
w(η) y θ(η) asociada al elemento finito en funci´on de las magnitudes dentro del vector u, que denominaremos
grados de libertad.

2.1. Las funciones de forma
Las condiciones m´ınimas a la deformaci´ on por flexi´on w(η) (flecha) se muestran en la Tabla 1. Como se
imponen 4 condiciones para la flecha, w(η) podr´a aproximarse por un polinomio de grado 3, que puede escribirse
como
w(η) ≈ a0 + a1 η + a2 η 2 + a3 η 3 (2)
Las 4 condiciones de la Tabla 1 da lugar a un sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 inc´ognitas {a0 , a1 , a2 , a3 }
cuya soluci´
on es
a0 = 0 , a1 = 0 , a2 = 8w1 − w2 , a3 = −8w1 + 2w2 (3)
Introduciendo estas expresiones en la Ec. (2) y reordenando

w(η) ≈ 8η 2 − 8η 3 w1 + −η 2 + 2η 3 w2 ≡ Nw1 (η)w1 + Nw2 (η)w2



(4)

Las dos funciones Nw1 (η), Nw2 (η) se denominan funciones de forma pues de alguna forma son cabaces de
transformar la soluci´
on en los nodos en una forma continua. Dado que dichas funciones son conocidas a priori,


3
 1.25

1.
Shape functions




0.75 Nw1 NΘ1

0.5 Nw2
NΘ2
0.25

0.

-0.25
0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 1
Η =yl Η =yl

Figura 2: Left: shape functions associated to the vertical displacements w1 and w2 . Right: shape functions
associated to the twist rotations θ1 and θ2


introducir w(η) en las ecuaciones del movimiento a flexi´on deber´ıa reducir el problema a las dos inc´ognitas
discretas w1 , w2 . Para la funci´on θ(η) el procedimiento es an´alogo, aunque ahora solo se imponen tres condiciones.
Esto conduce a polinomios de interpolaci´ on cuadr´
aticos. Despu´es de algunas operaciones se tiene

θ(η) ≈ 4η − 4η 2 θ1 + 2η 2 − η θ2 ≡ Nθ1 (η)θ1 + Nθ2 (η)θ2



(5)

En la Fig. 2 se muestran las funciones de forma. N´otese que cada una de ellas verifica las condiciones de contorno
impuestas, es decir se trata de soluciones particulares v´
alidas. Adem´
as, Nw1 toma el valor 1 en el nodo 1 y 0 en
el nodo 2. Por otro lado, Nw2 (1) = 1 y Nw2 (1/2) = 0.

2.2. Expresi´
on compacta y notaci´
on matricial
Tal y como se ha vistao arriba, las 4 variables que controlan el estado del sistema se pueden expresar en
t´erminos del vector...