2.4. Torbellino en herradura
El torbellino en herradura es nuestro objetivo final pues es el tipo de torbellinos que consideraremos en
nuestros paneles. Se trata de un torbellino que viene desde el infinito seg´ un una direcci´on definida por el vector
unitario nΓ hasta un punto A. Luego gira hacia otro punto B en un segmento y por u ´ltimo en B vuelve hacia el
infinito siguiendo la direcci´on nΓ en sengido contrario (ver Fig. 3). Por su composici´on, la velocidad inducida por
este filamento compuesto por dos torbellinos semi-infinitos y un segmento se puede obtener por superposici´on de
4 torbellinos semi-infinitos o bien dos semi-infinitos y un segmento. Ambas formas se presentan a continuaci´on
en una expresi´ on que se dentoar´a por Vherr (RP , RA , RB , nΓ , Γ)

Vherr (RP , RA , RB , nΓ , Γ) = Vsemi (RP , RA , nΓ , Γ) + Vseg (RP , RA , RB , Γ) + Vsemi (RP , RB , nΓ , −Γ)
= Vsemi (RP , RA , nΓ , Γ) + Vsemi (RP , RB , nAB , Γ)
+Vsemi (RP , RA , nAB , −Γ) + Vsemi (RP , RB , nΓ , −Γ) (22)


3. Geometr´ıa de la malla de paneles
Las singularidades en forma de v´ ortices tridimensionales o filamentos de torbellinos son usadas para la
modelizaci´on de superficies de sustentaci´
on. Para poder construir correctamente una malla de torbellinos que
permita obtener la respuesta en fuerzas de sustentaci´on de una determinada superficie necesitamos conocer los
llamados Teoremas de Vorticidad asociados a los nombres de Kelvin y Helmholtz:
Teorema 1. A lo largo de una linea de v´
ortice (tubo) la circulaci´on Γ es constante.
Teorema 2. Un filamento de torbellino no puede empezar o terminar abruptamente en un fluido. El filamento
debe (i) ser cerrada (ii) extenderse hasta el infinito o (iii) terminar en un contorno s´
olido. Adem´
as, la
circulaci´on Γ sobre cualquier secci´on es igual a la intensidad del torbellino.
Teorema 3. Un fluido inicialmente irrotacional y no-viscoso se mantiene irrotacional.
En relaci´
on con estos teoremas, se verifica el siguiente importante resultado: una malla de v´
ortices puede sopor-
tar un salto en las velocidades tangenciales (es decir, un salto de presiones o fuerza) mientras que la velocidad
normal a dicha malla es continua. Esto significa que se pueden usar para para representar superficies de sus-
tentaci´
on.




Figura 4: Geometr´ıa del ala considerada y mallado en paneles aerodin´
amicos. La organizaci´
on de la numeraci´on
de nodos y paneles es la mostrada en la figura de la derecha.

El reto de este cap´ıtulo es la modelizaci´on aerodin´amica mediante el m´etodo de los paneles de una ala en
flecha con cuerda variable. El objetivo final es modelizar el conjunto mediante programas escritos en el lenguaje
de MATLAB y obtener la respuesta de dicha geometr´ıa, principalmente el mapeo de las presiones, la distri-
buci´on de sustentaci´on y la sustentaci´on total. La geometr´ıa gen´erica se muestra en la Fig. 4 y depender´a de
una serie de par´ ametros: b, ct , cr son la enverdagura y cuerdas en punta y ra´ız respectivamente. ΛF , ΛR son
las flechas de los bordes frontal y posterior. Los v´ertices se representan por su localizaci´
on en ingl´es: “L-C-R”
(left-center-right), “F-R” (front-rear).



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 La superficie deber´a ser discretizada en paneles de la siguiente forma: tanto la cuerda en punta de ala como
la cuerda central se dividir´an en nx partes iguales. Por otro lado, la envergadura se dividir´a en ny partes iguales
(obviamente ny deber´ a ser un n´umero par). Al unir los puntos tras la divisi´
on aparece un mallado como el de
la Fig. 4, para el cual se han usado nx = 3, ny = 8. El n´ umero total de paneles es N = nx · ny .




Figura 5: Puntos caracter´ısticos en un panel j y filamento de torbellino asociado.

Asociada a cada panel se situar´ a una singularidad en forma de torbellino de herradura con intensidad Γj .
Los filamentos infinitos (semirectas) llevar´ an la direcci´on +x que coincide con la direcci´on del flujo de aire con
velocidad U∞ (velocidad de vuelo). Los puntos Aj y Bj del segmento finito de la herradura se colocar´ an en un
punto intermedio de los correspondientes lados paralelos a +x (ver Fig 5). El punto Aj se localiza sobre el lado
del panel E1-E3, a 1/4 del v´ertice E3. An´alogamente para el punto Bj . As´ı, denotando por REk , k = 1, 2, 3, 4
a los vectores posici´on de los 4 v´ertices de un panel, entonces se tiene que
1 3 1 3
RAj = RE1 + RE3 , RBj = RE2 + RE4 (23)
4 4 4 4
Estos puntos son importantes y deben ser calculados para cada panel pues tal y como hemos visto antes, Ec. (22),
la velocidad inducida por el torbellino en herradura depende de ellos por lo que ser´an necesarios para el c´alculo
de los coeficientes de influencia. Adem´as, otros dos puntos son necesarios para la construcci´on del modelo: el
punto “v´ortice” Vj y el punto “control” Cj . El primero se localiza a 1/4 del borde de ataque de la secci´on central
del panel. Llamando S y T a los puntos centrales de los lados E1-E2 y E3-E4 respectivamente, entonces se
tiene que
1 1 1 1
RS = RE1 + RE2 , RT = RE3 + RE4 (24)
2 2 2 2
Los puntos Vj y T distan una cuarta parte de la longitud del segmento ST. Por otro lado, el punto de control Cj
est´
a a 3/4 de T. Si, como ser´a habitual, de nuestro programa podemos extraer las coordenadas de los v´ertices
del panel, dadas por REK , entonces las coordenadas de los puntos Vj y Cj vienen dadas por
1 3 1 1 3 3
RV j = RS + RT = RE1 + RE2 + RE3 + RE4
4 4 8 8 8 8
3 1 3 3 1 1
RCj = RS + RT = RE1 + RE2 + RE3 + RE4
4 4 8 8 8 8
En el punto de control se forzar´
a a la componente de la velocidad del fluido normal al panel a ser nula (condi-
ciones de contorno). El punto v´
ortice es el punto donde se localiza la fuerza de sustentaci´
on del panel generada
por el torbellino.

Por u
´ltimo, de cada panel deber´ a definirse su vector normal (unitario). Dicho vector es importante pues
sobre su direcci´on proyectaremos las diferentes velocidades involucradas para forzar a que su suma se cancele.
El caso m´as sencillo (y habitual desde un punto de vista acad´emico) es una panel con un cierto ´angulo de ataque
αj ≪ 1, el valor del vector normal ser´a entonces
nj = sin αj i + cos αj k ≈ αj i + k (25)


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T´engase en cuenta que el ´angulo de ataque puede ser diferente para cada panel, por ejemplo para analizar el
efecto de alerones y/o flaps o para cambios de curvatura del perfil.


4. Sistema de ecuaciones de torbellinos
Una vez colocados los N torbellinos sobre la malla de paneles es necesario deducir el sistema de N ecuaciones
(veremos que ser´a lineal) para obtener Γ1 , . . . , ΓN . Dicho sistema surge de la aplicaci´on de las condiciones de
contorno en cada punto de control. La velocidad en cada punto del espacio P (x, y, z), VP es suma de la velocidad
N
constante y uniforme V∞ = U∞ i m´as la velocidad inducida por todos los torbellinos {Γj }j=1 que denotaremos
por vP , es decir
VP (x, y, z) = vP (x, y, z) + V∞ (26)
Consideremos ahora el panel j cuyo vector normal es nj . Debemos garantizar que la velocidad es tangente a
dicho panel o, de forma equivalente, la proyecci´
on de la velocidad sobre la normal es nula. Esta comprobaci´ on
se realiza en el punto de control, de coordenadas (xCj , yCj , zCj ). Matem´
aticamente debe verificarse entonces
que el producto escalar
VCj · nj = [vCj + V∞ ] · nj = 0 , 1 ≤ j ≤ N (27)
Las N ecuaciones anteriores son las necesari...