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Catégorie :Category: mViewer GX Creator App HP-Prime
Auteur Author: alvarofvfv
Type : Application
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a1330573
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Description
torbellino a cada panel, pero se trata de un filamento de torbellino en herradura. Asociado a ´este filamento
se crea un campo de velocidades tridimensional. La raz´ on de tomar tambi´en torbellinos es la misma que
entonces: el potencial asociado a ´estos en el modelo 3D verifica la ecuaci´on de Laplace (2), de la misma
forma que el potencial asociado a los torbellinos 2D verifica la Ec. (1)
El desarrollo del tema va a ser de alguna forma paralelo aunque en primer lugar dedicaremos un punto
a introducir la ley de Biot–Savart para calcular el campo de velocidades debidas a filamentos de torbellinos.
Posteriormente definiremos la geometr´ıa de la malla de paneles para un ala gen´erica en flecha trapezoidal. Aqu´ı
presentaremos nuestro modelo de paneles aunque en general se puede plantear un mallado m´as gen´erico pa-
ra cualquier superficie. El objetivo es construir un modelo sencillo y did´ actico pero por otro lado completo y
vers´atil para los casos m´as habituales. La intensidad de los torbellinos se obtiene (otra vez) a partir de la reso-
luci´on de un sistema lineal. Existen relaciones directas entre la intensidad de los torbellinos y las fuerzas en el ala.
Los m´etodos basados en una malla de torbellinos (Vortex-Lattice-Methods (VLM) en ingl´es) fueron formu-
lados por primera vez a finales de los a˜ nos 1930 y el m´etodo fue llamado VLM por primera vez por Faulkner
en 1943. El m´etodo en s´ı es extremadamente simple pero sus aplicaciones pr´acticas tuvieron que esperar hasta
el desarrollo de los ordenadores en los primeros a˜ nos de la d´ecada de 1960. Un workshop sobre el tema fue
organizado por la NASA a mediados de los 70 [1]. Surgieron diferentes informes y reports donde se describ´ıa el
c´odigo desarrollado por la NASA [2–5]. Cada nueva versi´on ten´ıa considerablemente mayor capacidad que las
anteriores hasta que se desarroll´o el c´odigo considerado como “final”, designado como VLM4.997.
En este cap´ıtulo describiremos en primer lugar la ley de Biot–Savart para deducir el campo de velocidades
de un filamento de torbellino en herradura. Detallaremos c´omo asignar un torbellino en herradura a cada panel
de una malla de celdas que cubran nuestra superficie de sustentaci´ on, en nuestro caso analizaremos un ala en
flecha de forma trapezoidal. Por u´ltimo plantearemos el sistema de ecuaciones que permite obtener la soluci´
on
a nuestro campo de torbellino y deduciremos c´omo obtener la respuesta en fuerzas del ala: distribuci´ on de
presiones, distribuci´
on de sustentaci´
on y sustentaci´
on total.
2. Ley de Biot–Savart
La ley de Biot-Savart1 aplicada a aerodin´ amica tridimensional permite obtener el campo de velocidades
debido a un filamento en el cual est´a definido un torbellino de intensidad Γ. Aunque durante este tema conside-
raremos siempre filamentos rectos, para esta definici´on supondremos que el filamento es una curva de elemento
diferencial de arco (vector) dl que llevar´
a la direcci´on positiva de Γ (de acuerdo a la regla de la mano derecha).
La curva se denotar´a por C y asumiremos que viene definida por su par´ ametro natural (longitud de arco), s. Las
coordenadas param´etricas de un punto de la curva son entonces X(s), Y (s), Z(s). La ley de Biot-Savart permite
conocer la velocidad V(x, y, z) inducida en un punto P de coordenadas (x, y, z), por el torbellino a partir de la
siguiente integral
Γ dl × rP (s)
Z
V(x, y, z) = 3 (3)
C 4π krP (s)k
donde
rP (s) = RP − R(s) = (x − X(s))i + (y − Y (s))j + (z − Z(s))k (4)
es el vector posici´on de P , relativo a un punto gen´erico de la curva R(s) = X(s)i + Y (s)j + Z(s)k. Veamos a
trav´es de una serie de casos particulares los detalles del c´alculo de la integral (3).
2.1. Filamento recto de longitud infinita
En la Fig. 1(derecha) se ha representado el filamento recto de longitud infinita e intensidad constante Γ,
localizado a lo largo del eje Oy. Obtendremos la soluci´on del campo de velocidades a lo largo de cualquier punto
del eje x y la soluci´on ser´a v´
alida para cualquier plano perpendicular a dicho filamento dada la infinitud del
filamento. Un punto cualquiera de la curva tiene las coordenadas
X(s) = 0 , Y (s) = s , Z(s) = 0 , −∞ < s < ∞ (5)
El elemento diferencial de la curva (vector) es dl = ds j. El punto donde queremos evaluar la velocidad tiene un
vector posici´on RP = x i. Por tanto,
p
rP (s) = x i − sj , krP (s)k = x2 + s2 (6)
1 La ley de Biot-Savart, que data de 1819 y es llamado as´ ı en honor de los f´ısicos franceses Jean-Baptiste Biot y F´ elix Savart,
fue concebida para obtener el vector del campo magn´ etico creado por corrientes el´ ectricas estacionarias. El potencial del que deriva
dicho vector verifica tambi´
en la ecuaci´
on de Laplace, de ah´ı que en aerodin´amica pueda aplicarse tambi´ en por analog´ıa.
4
Figura 1: Izquierda: Filamento gen´erico a lo largo de la curva C de un torbellino de intensidad Γ. Derecha:
Filamento recto siguiendo el eje Oy y campo de velocidades que produce a lo largo de una linea perpendicular
(eje Ox)
y de acuerdo a la definici´on (3) la velocidad en el punto P (x, 0, 0) es
Z ∞ i j k Z ∞
Γ dl × rP (s) Γ 1 = Γ (−x k) ds
Z
VP (x) = = 0 ds 0 (7)
3 4π s=−∞ (x2 + s2 )3/2 3/2
C 4π krP (s)k
4π
x −s 0 s=−∞ (x2 + s2 )
despu´es de hacer el cambio ξ = s/x (recordemos que x permanece constante en la integral pues ´esta est´
a definida
a lo largo del par´
ametro s) tenemos
Z ∞
Γk dξ Γk
VP (x) = − =− (8)
4π x s=−∞ (1 + ξ 2 )3/2 2π x
resultado que se ha obtenido haciendo uso del siguiente resultado integral
Z ∞
dξ
3/2
=2 (9)
s=−∞ (1 + ξ 2 )
Como vemos la velocidad es tangente al c´ırculo de centro O y radio x y su intensidad es inversamente proporcional
a dicho radio x. En la Fig. 1 se aprecia de forma aproximada la distribuci´ on de velocidades. La soluci´
on
de la Ec. (8) es la usada para los torbellinos 2D usados en el m´etodo de los paneles bidimensional, pues
entonces consideramos que de alguna forma el ala era de infinita envergadura y los torbellinos aunque solamente
representados en el plano xOz en realidad ten´ıan una longitud infinita.
2.2. Filamento recto de longitud semi-infinita
En la Fig. 2 se ha representado un croquis de este caso particular. Consideraremos que el filamento tiene
intensidad Γ y lleva la direcci´on dada por dl. La semirecta tiene un vector unitario nΓ que siempre est´
a orientado
hacia el punto inicial de la misma (punto A). La direcci´on del vector dl viene dada por el sentido de Γ y no por
el de nΓ . En el caso representado ambos tienen el mismo sentido por la direcci´on elegida para Γ. Si el torbellino
fuera de signo contrario, dl llevar´ıa sentido opuesto a Γ. Podemos tomar como par´ ametro de dicha curva la
5
Figura 2: Filamento de intensidad Γ semi-infinito (v´ertice A). El vector nΓ est´
a orientado hacia A. El vector dl
est´
a orientado en el sentido de Γ.
distancia s hasta el punto origen A, tal y como se observa en la figura. El punto P (x, y, z) es el punto donde se
desea evaluar...
se crea un campo de velocidades tridimensional. La raz´ on de tomar tambi´en torbellinos es la misma que
entonces: el potencial asociado a ´estos en el modelo 3D verifica la ecuaci´on de Laplace (2), de la misma
forma que el potencial asociado a los torbellinos 2D verifica la Ec. (1)
El desarrollo del tema va a ser de alguna forma paralelo aunque en primer lugar dedicaremos un punto
a introducir la ley de Biot–Savart para calcular el campo de velocidades debidas a filamentos de torbellinos.
Posteriormente definiremos la geometr´ıa de la malla de paneles para un ala gen´erica en flecha trapezoidal. Aqu´ı
presentaremos nuestro modelo de paneles aunque en general se puede plantear un mallado m´as gen´erico pa-
ra cualquier superficie. El objetivo es construir un modelo sencillo y did´ actico pero por otro lado completo y
vers´atil para los casos m´as habituales. La intensidad de los torbellinos se obtiene (otra vez) a partir de la reso-
luci´on de un sistema lineal. Existen relaciones directas entre la intensidad de los torbellinos y las fuerzas en el ala.
Los m´etodos basados en una malla de torbellinos (Vortex-Lattice-Methods (VLM) en ingl´es) fueron formu-
lados por primera vez a finales de los a˜ nos 1930 y el m´etodo fue llamado VLM por primera vez por Faulkner
en 1943. El m´etodo en s´ı es extremadamente simple pero sus aplicaciones pr´acticas tuvieron que esperar hasta
el desarrollo de los ordenadores en los primeros a˜ nos de la d´ecada de 1960. Un workshop sobre el tema fue
organizado por la NASA a mediados de los 70 [1]. Surgieron diferentes informes y reports donde se describ´ıa el
c´odigo desarrollado por la NASA [2–5]. Cada nueva versi´on ten´ıa considerablemente mayor capacidad que las
anteriores hasta que se desarroll´o el c´odigo considerado como “final”, designado como VLM4.997.
En este cap´ıtulo describiremos en primer lugar la ley de Biot–Savart para deducir el campo de velocidades
de un filamento de torbellino en herradura. Detallaremos c´omo asignar un torbellino en herradura a cada panel
de una malla de celdas que cubran nuestra superficie de sustentaci´ on, en nuestro caso analizaremos un ala en
flecha de forma trapezoidal. Por u´ltimo plantearemos el sistema de ecuaciones que permite obtener la soluci´
on
a nuestro campo de torbellino y deduciremos c´omo obtener la respuesta en fuerzas del ala: distribuci´ on de
presiones, distribuci´
on de sustentaci´
on y sustentaci´
on total.
2. Ley de Biot–Savart
La ley de Biot-Savart1 aplicada a aerodin´ amica tridimensional permite obtener el campo de velocidades
debido a un filamento en el cual est´a definido un torbellino de intensidad Γ. Aunque durante este tema conside-
raremos siempre filamentos rectos, para esta definici´on supondremos que el filamento es una curva de elemento
diferencial de arco (vector) dl que llevar´
a la direcci´on positiva de Γ (de acuerdo a la regla de la mano derecha).
La curva se denotar´a por C y asumiremos que viene definida por su par´ ametro natural (longitud de arco), s. Las
coordenadas param´etricas de un punto de la curva son entonces X(s), Y (s), Z(s). La ley de Biot-Savart permite
conocer la velocidad V(x, y, z) inducida en un punto P de coordenadas (x, y, z), por el torbellino a partir de la
siguiente integral
Γ dl × rP (s)
Z
V(x, y, z) = 3 (3)
C 4π krP (s)k
donde
rP (s) = RP − R(s) = (x − X(s))i + (y − Y (s))j + (z − Z(s))k (4)
es el vector posici´on de P , relativo a un punto gen´erico de la curva R(s) = X(s)i + Y (s)j + Z(s)k. Veamos a
trav´es de una serie de casos particulares los detalles del c´alculo de la integral (3).
2.1. Filamento recto de longitud infinita
En la Fig. 1(derecha) se ha representado el filamento recto de longitud infinita e intensidad constante Γ,
localizado a lo largo del eje Oy. Obtendremos la soluci´on del campo de velocidades a lo largo de cualquier punto
del eje x y la soluci´on ser´a v´
alida para cualquier plano perpendicular a dicho filamento dada la infinitud del
filamento. Un punto cualquiera de la curva tiene las coordenadas
X(s) = 0 , Y (s) = s , Z(s) = 0 , −∞ < s < ∞ (5)
El elemento diferencial de la curva (vector) es dl = ds j. El punto donde queremos evaluar la velocidad tiene un
vector posici´on RP = x i. Por tanto,
p
rP (s) = x i − sj , krP (s)k = x2 + s2 (6)
1 La ley de Biot-Savart, que data de 1819 y es llamado as´ ı en honor de los f´ısicos franceses Jean-Baptiste Biot y F´ elix Savart,
fue concebida para obtener el vector del campo magn´ etico creado por corrientes el´ ectricas estacionarias. El potencial del que deriva
dicho vector verifica tambi´
en la ecuaci´
on de Laplace, de ah´ı que en aerodin´amica pueda aplicarse tambi´ en por analog´ıa.
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Figura 1: Izquierda: Filamento gen´erico a lo largo de la curva C de un torbellino de intensidad Γ. Derecha:
Filamento recto siguiendo el eje Oy y campo de velocidades que produce a lo largo de una linea perpendicular
(eje Ox)
y de acuerdo a la definici´on (3) la velocidad en el punto P (x, 0, 0) es
Z ∞ i j k Z ∞
Γ dl × rP (s) Γ 1 = Γ (−x k) ds
Z
VP (x) = = 0 ds 0 (7)
3 4π s=−∞ (x2 + s2 )3/2 3/2
C 4π krP (s)k
4π
x −s 0 s=−∞ (x2 + s2 )
despu´es de hacer el cambio ξ = s/x (recordemos que x permanece constante en la integral pues ´esta est´
a definida
a lo largo del par´
ametro s) tenemos
Z ∞
Γk dξ Γk
VP (x) = − =− (8)
4π x s=−∞ (1 + ξ 2 )3/2 2π x
resultado que se ha obtenido haciendo uso del siguiente resultado integral
Z ∞
dξ
3/2
=2 (9)
s=−∞ (1 + ξ 2 )
Como vemos la velocidad es tangente al c´ırculo de centro O y radio x y su intensidad es inversamente proporcional
a dicho radio x. En la Fig. 1 se aprecia de forma aproximada la distribuci´ on de velocidades. La soluci´
on
de la Ec. (8) es la usada para los torbellinos 2D usados en el m´etodo de los paneles bidimensional, pues
entonces consideramos que de alguna forma el ala era de infinita envergadura y los torbellinos aunque solamente
representados en el plano xOz en realidad ten´ıan una longitud infinita.
2.2. Filamento recto de longitud semi-infinita
En la Fig. 2 se ha representado un croquis de este caso particular. Consideraremos que el filamento tiene
intensidad Γ y lleva la direcci´on dada por dl. La semirecta tiene un vector unitario nΓ que siempre est´
a orientado
hacia el punto inicial de la misma (punto A). La direcci´on del vector dl viene dada por el sentido de Γ y no por
el de nΓ . En el caso representado ambos tienen el mismo sentido por la direcci´on elegida para Γ. Si el torbellino
fuera de signo contrario, dl llevar´ıa sentido opuesto a Γ. Podemos tomar como par´ ametro de dicha curva la
5
Figura 2: Filamento de intensidad Γ semi-infinito (v´ertice A). El vector nΓ est´
a orientado hacia A. El vector dl
est´
a orientado en el sentido de Γ.
distancia s hasta el punto origen A, tal y como se observa en la figura. El punto P (x, y, z) es el punto donde se
desea evaluar...