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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: ananas83
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 3
Taille Size: 175.56 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 12/01/2018
Uploadeur Uploader: ananas83 (Profil)
Téléchargements Downloads: 1
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a1330117

Description 

FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

ε : Exprime la déformation (en µm/m)
σ : Exprime la contrainte

π π 2π
Formule changement de base (TD) : Rosette 60°/45° (45°= , 60°= , 120° = )
4 3 3
ε11 + ε 22 ε11 − ε 22
ε θ = ε 11 = + cos 2θ + ε 12 sin 2θ
2 2
Exemple rosette à 45° :
ε θ 1 ⇒ θ = 0° , ε θ 2 ⇒ θ = 45° , ε θ 3 ⇒ 2θ = 90°



Déformations principales (TD) :
ε11 + ε 22 ε11 − ε 22
εi = + cos 2θ + ε12 sin 2θ
2 2
ε 11 − ε 22
ε 12 = 0 = − sin 2θ + ε 12 cos 2θ
2


Changement de base ε (Cours): Changement de base σ (Cours):
ε '11 = ε 11 cos θ + ε 22 sin θ + ε12 sin 2θ
2 2
σ '11 = σ 11 cos θ + σ 22 sin 2 θ + σ 12 sin 2θ
2


ε '22 = ε 11 sin 2 θ + ε 22 cos 2 θ − ε 12 sin 2θ σ '22 = σ 11 sin 2 θ + σ 22 cos 2 θ − σ 12 sin 2θ
ε −ε σ − σ 22
ε '12 = − 11 22 sin 2θ + ε 12 cos 2θ σ '12 = − 11 sin 2θ + σ 12 cos 2θ
2 2


Directions principales
1 2ε12
θ= Arctg
2 ε11 + ε 22


Equations statiques de l'équilibre :
∂σ 11 ∂σ 12 ∂σ 13
+ + + F1 = 0
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂σ 21 ∂σ 22 ∂σ 23
+ + + F2 = 0
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂σ 31 ∂σ 32 ∂σ 33
+ + + F3 = 0
∂x1 ∂x2 ∂x3




-1-
FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

RELATION DEFORMATIONS > CONTRAINTES :

ε 11 =
1
[σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 )] Avec : G =
E
E 2(1 + ν )
ε 22 = [σ 22 −ν (σ 11 + σ 33 )]
1
E ν : Coefficient de poisson
(Compris entre -1 et 0,5. Matériaux
ε 33 = [σ 33 −ν (σ 11 + σ 22 )] quelconque ν = 0.3, matériaux auxétiques
1
E ν < 0)
1 +ν 1
ε 12 = σ 12 = σ 12 E : Module d'Young (Pa)
E 2G
1 +ν 1
ε 13 = σ 13 = σ 13
E 2G
1 +ν 1
ε 23 = σ 23 = σ 23
E 2G


RELATION CONTRAINTES > DEFORMATIONS :

Loi de Hooke généralisée :

σ ij = λε kkδ ij + 2Gε ij avec λ= et ε kk = ε11 + ε 22 + ε 33
(1 + ν )(1 − 2ν )

σ 11 =
E
[(1 + ν )ε11 + ν (ε 22 + ε 33 )] =
E
(1 + ν )(1 − 2ν ) Avec : G
2(1 + ν ) Module de
σ 22 =
E
[(1 + ν )ε 22 + ν (ε11 + ε 33 )] cisaillement (Pa)
(1 + ν )(1 − 2ν ) ν : Coefficient de poisson
σ 33 =
E
[(1 + ν )ε 33 + ν (ε11 + ε 22 )] (Compris entre -1 et 0,5. Matériaux
quelconque ν = 0.3, matériaux auxétiques
(1 + ν )(1 − 2ν ) ν < 0)
E
σ 12 = ε12 = 2Gε12 E : Module d'Young (Pa)
1 +ν
E
σ 13 = ε13 = 2Gε 13
1 +ν
E
σ 23 = ε 23 = 2Gε 23
1 +ν




-2-
FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Déformations en fonction du déplacement :
∂u1 1 ∂u1 ∂u 2
ε 11 = ε 12 = ε 21 = ( + )
∂x1 2 ∂x2 ∂x1
∂u 2 1 ∂u1 ∂u 3
ε 22 = ε 13 = ε 31 = ( + ) Tenseur des
∂x2 2 ∂x3 ∂x1 déformations de cauchy

∂u 3 1 ∂u 2 ∂u3
ε 33 = ε 23 = ε 32 = ( + )
∂x3 2 ∂x3 ∂x2


Vecteur contrainte :
[ ]
Tn = σij • n


TENSEURS DES DEFORMATIONS :

Green - Lagrange (description matérielle) :
1  ∂ui ∂u j ∂uk ∂uk 
Eij =  + + × 
Terme du second ordre négligé en
2  ∂a j ∂ai ∂a j ∂ai  hypothèse des petites perturbations

Terme du second ordre négligé en

Application (pour k allant de 1 à 2 donc ε 33 = 0 ) :
1  ∂u ∂u  ∂u   ∂u 
2 2

ε 11 =  1 + 1 +  1  ×  2  
2  ∂a1 ∂a1  ∂a1   ∂a1  

1  ∂u 2 ∂u 2  ∂u1 
2 2
  ∂u 2 
ε 22 =  + +  ×   
2  ∂a 2 ∂a 2  ∂a 2   ∂a 2  

1  ∂u1 ∂u 2  ∂u1 × ∂u1   ∂u 2 × ∂u 2 
ε 12 =  + +  ×  
2  ∂a 2 ∂a1  ∂a1 × ∂a 2   ∂a1 × ∂a 2 




Euler (description spatiale) :
1  ∂u i ∂u j ∂uk ∂uk 
Eij =  + − ×  Terme du second ordre négligé en
2  ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi  hypothèse des petites perturbations




-3-

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