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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: luis paulo paulo
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 8
Taille Size: 677.72 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 14/09/2017
Uploadeur Uploader: luis paulo paulo (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a1144624

Description 

1 – O escoamento de um fluido incompressível tem o seguinte campo de velocidades
r r r
V = 4a x i − 4b y j .
Determine
a) a relação entre os parâmetros a e b para que seja satisfeita a continuidade do escoamento; (1,0 val.)
b) o caudal escoado através de um círculo de diâmetro D com centro em (1,2,0) e assente num plano
paralelo a y0 z . (1,5 val.)

a) a equação da continuidade é

∂ρ r
+ div (ρ v) = 0
∂t

Tratando-se de um fluido incompressível, a massa volúmica não varia no espaço nem no tempo. Assim
∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ
=0 e = = = 0 pelo que a equação da continuidade se resume a
∂t ∂x ∂y ∂z
∂v x ∂v y ∂v z
+ + = 0 , isto é, 4a − 4b = 0 . Logo, a = b .
∂x ∂y ∂z

r r r r
b) o vector normal ao círculo é n = 1i + 0 j + 0k . Assim, o caudal que atravessa o círculo é

r r r r r r D2
Q = ∫∫ (4axi − 4byj + 0k ) ⋅ (1i + 0 j + 0k )ds = ∫∫ 4axdS = 4ax ∫∫ dS = 4a × 1× π × = a × π× D2
S S S
4


2 – Uma comporta cilíndrica com 1m de diâmetro e 0.5
m
4m de comprimento tem o seu eixo horizontal
apoiado sem atrito em dois pilares verticais para criar
a represa mostrada na figura. Assumindo que não
existe qualquer ligação estrutural da comporta à placa B
plana AB (B constitui apenas uma junta de vedação), d=1.0
1.0 m




d=1.0
determine
a) a componente horizontal da força transmitida a
cada pilar; (2,0 val.)
A
b) o peso mínimo da comporta para não ser levantada.
(2,0 val.)

a) a diferença entre a componente horizontal da impulsão hidrostática na superfície BCD, I H 1 , e a
componente horizontal da impulsão hidrostática na superfície EB, I H 2 , é o dobro da força transmitida a
cada pilar, RH .
D
O peso volúmico do líquido dos dois lados da comporta é
0.5
γ = 1× 9800 Nm −3 = 9800 Nm −3 m RH
IH1 C E
9800 Nm −3 × 1,00m × 1,00m IH2
I H1 = × 4,00m = 19600 N
2
B

9800 Nm −3 × 0,50m × 0,50m
IH2 = × 4,00m = 4900 N
2
19600 N − 4900 N
RH = = 7350 N
2


b) o peso da comporta deve igualar ou ultrapassar a soma das IV1
componentes verticais da impulsão hidrostática na superfície CD,
I V 1 , na superfície BC, I V 2 , e na superfície EB, I V 3 D

0.5
m
π × (0,50m )
2
I V 3 = 9800 Nm −3 × × 4,00m = 7697 N C E
4

I V 2 = 9800 Nm −3 × 0,50m × 0,50m × 4,00m + 7697 N = B
I V 2 = 9800 N + 7697 N = 17497 N IV2 IV3
P

I V 1 = 9800 N − 7697 N = 2103 N

P ≥ 7697 N + 17497 N − 2103 N = 23091N


3 – Num modelo reduzido construído à escala 1:20 (escala de comprimentos) vão realizar-se ensaios
para estudar um fenómeno que depende exclusivamente da gravidade (semelhança de Froude:
Fr = V gh ), utilizando-se o mesmo líquido do protótipo. Determine as escalas das seguintes
grandezas:
a) velocidade;(0,5 val.)
b) tempo; (1,0 val.)
c) caudal. (0,5 val.)

Um
a) a semelhança de Froude implica que o número de Froude no modelo Frm =
ghm

Up
tenha que ser igual ao número de Froude no protótipo Frp =
gh p

Resulta então

Um Up Um h
Frm = = Frp = ⇔ = m
ghm gh p Up hp

Sendo conhecida a relação entre comprimentos no modelo e no protótipo, Lm L p = 1 50 essa relação
será válida também para as alturas do escoamento, isto é hm h p = 1 20 , logo a escala das velocidades
será

Um 1
=
Up 20
b) Uma velocidade no protótipo, U p , pode escrever-se como o quociente de um comprimento, ∆L p ,
∆L p ∆L p
por um intervalo, ∆T p , isto é U p = α , vindo então ∆T p = α . O intervalo de tempo homólogo
∆T p Up
∆Lm
no modelo pode escrever-se a partir das quantidades homólogas no modelo: ∆Tm = α . A constante
Um
α que aparece na expressão do intervalo de tempo no modelo será a mesma da expressão do intervalo
de tempo no protótipo. Assim, a relação entre o intervalo de tempo no modelo e o intervalo de tempo
homólogo no protótipo, ou escala dos tempos, pode escrever-se

∆Tm α ∆Lm U m ∆Lm U p ∆Lm ∆L p ∆Lm 1
= = = = =
∆T p α ∆L p U p ∆L p U m ∆L p ∆Lm ∆L p 20

c) um caudal no protótipo, Q p , pode escrever-se como o produto de uma velocidade no protótipo, U p ,
por uma área no protótipo, Ap , que, por sua vez, se pode escrever como o quadrado de um
comprimento no protótipo, ou seja
Q p = βU p L2p
Tal como na alínea anterior, argumento semelhante pode utilizar-se para a escrita do caudal no modelo:
Qm = β U m L2m . Assim, a escala dos caudais será

2
Qm β U m L2m U m  Lm 
2 5/ 2
1  1   1 
= = = ×  =  
Q p β U p L2p U p  L p  20  20   20 


4 – Os resultados obtidos em experiências laboratoriais para caracterização das perdas de carga
unitárias de escoamento turbulentos em condutas de secção circular, mostram, para a mesma conduta,
um decréscimo do factor de resistência f com o incremento do caudal. Interprete esta evidência
experimental e refira porque razão, decrescendo f , a perda de carga unitária J cresce com o
incremento do caudal. (1,5 val.)

JD
O factor de resistência é dado por f = . Partindo desta expressão pode escrever-se a perda de
U 2 2g
f U2
carga unitária como J =
D 2g

Para uma mesma conduta em escoamento turbulento podemos distinguir duas situações

a) escoamento turbulento rugoso: f é constante, logo J cresce com o quadrado da velocidade média
do escoamento

b) escoamento turbulento de transição e escoamento turbulento liso: neste caso f vai diminuir com o
crescimento do número de Reynolds, logo com o crescimento do caudal.

Resta saber se o decréscimo de f é ou não superior ao crescimento da parcela U 2 2 g .
Olhando para o ábaco de Moody facilmente se verifica que a maior variação de f com o número de
Reynolds ocorre para o escoamento turbulento liso e que neste caso multiplicar por cem a velocidade
(passando de Re = 10 4 para Re = 10 6 ) implica menos do que reduzir a um terço o valor de f
(passando de f = 0,03 para f = 0,01 ). Pode então concluir-se que a redução do factor de resistência
com a velocidade é muito baixa pelo que a perda de carga unitária aumenta sempre com o caudal.
120 m

5 – A figura mostra um alargamento brusco
entre uma conduta com 300mm de diâmetro e
uma conduta com 400mm de diâmetro com o
eixo à cota 100m . Sabendo que o caudal de
água ( γ = 9800 Nm −3 ) que atravessa esse
alargamento é Q = 0,1m 3 s −1 , determine a força
exercida pelo escoamento sobre as paredes
100 m
deste acessório. (2,0 val.)

0.3 m




0.4 m
...

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