Implications mathématiques et vérités

[NspireCas]

Bonjour,

a et b deux raisonnements.
Si a=>b et que b est faux, je sais que b n'implique pas (forcément ?) a.
Ma question est : peux-t-on dire pour autant que a est faux ? (Le cas de b pouvant être une exception)

Merci

[Bisam]

Si

$mathjax$a\Rightarrow b$mathjax$

alors

$mathjax$(\text{non}\; b)\Rightarrow (\text{non}\; a)$mathjax$

. C'est la contraposée.
Donc si tu sais que

$mathjax$a\Rightarrow b$mathjax$

et que

$mathjax$b$mathjax$

est faux, tu peux effectivement en déduire que

$mathjax$a$mathjax$

est faux également.

Un exemple (trivial, certes), si x est un réel :

$mathjax$x>1 \Rightarrow x>0$mathjax$

donc si je sais que

$mathjax$x \leq 0$mathjax$

alors je peux en déduire que

$mathjax$x \leq 1$mathjax$

.

[NspireCas]

Mais si le raisonnement qui sort de a (b) est faux pour une raison indépendante de a, ça marche aussi ?

[Bisam]

Bien sûr !

(Le pape est une femme) => (2+2 = 5) est une implication qui est vraie.

Comme tu sais que 2+2 n'est pas égal à 5, tu peux en déduire que le pape n'est pas une femme.

[NspireCas]

Merci beaucoup , j'ai directement compris avec ton exemple !