Question 1 - ‪#‎Concours‬ Coupe du Monde des Maths avec TI

[Bisam]

Pour les matchs de poule, il faut considérer l'ensemble des résultats simultanément.
Tes événements seront donc des quadruplets de scores finaux... en effet, les résultats des autres équipes ne sont pas indépendants des résultats de la France !
Le plus simple, si tu ne veux pas te prendre la tête est de faire un petit script qui fait toutes les possibilités de victoires, nul ou défaite pour chacun des 6 matchs (soit 3^6=729 résultats possibles) et comptabilise le nombre de cas où la France finit dans les 2 premiers...

Mais il y a encore un paramètre à prendre en compte.
En effet, il est possible que 2 équipes ou plus arrivent ex-aequo en 2nde place... et dans ce cas, pour les départager, il faut considérer les scores des matchs et plus exactement les différences de buts. Et là, c'est pas de la tarte, car il faut faire une modélisation du score des matchs...
Et c'est toujours pas fini car il est possible qu'il y ait encore des ex-aequo... auquel cas, c'est la différence de buts entre les équipes ex-aequo qui entre en compte...
Mais c'est toujours pas fini car il est encore possible d'avoir des ex-aequo... et dans ce cas, c'est un tirage au sort qui départage.

Bref, il est quasiment impossible de déterminer une probabilité exacte de sortir de poule !

[Persalteas]

En effet, je n'avais pas pensé aux équipes ex-aequo...
ça peut être intéressant de le faire quand même, pour voir si on retombe bien sur 1/32...

La difficulté vient du fait qu'il n'existe pas de nombre maximum de buts dans un match, donc il n'est théoriquement pas possible de gérer tous les cas de différence de buts possibles...

[Bisam]

On peut faire une modélisation en considérant que les probabilités (supposées) pour une équipe donnée de marquer 0, 1, 2, 3, ... buts sont respectivement 1/4,1/3,1/3,1/(3×4),1/(3×4^2 ),…
Pour faire les calculs, il faut faire des sommes de séries géométriques... mais ça doit pouvoir se faire.

[m@thieu41]

Pourquoi s'embêter à ce point?

On sait de source sûre que la France a de toute façon 1 chance sur 32 de gagner.

En effet, on sait:
_Qu'il y a au moins un vainqueur;
_Que chaque équipes a autant de chance de gagner.

Soit
Wn l'évènement "l'équipe n gagne".

On a alors:
P(W1)+P(W2)+...+P(W32) = 1
En effet, il faut qu'il y ait un seul et unique vainqueur.

Or, puisque W1, W2...W32 sont équiprobables:
32P(W1) = 1
Soit P(W1) = 1/32

La probabilité qu'une équipe n gagne est donc de 1/32, en particulier la France a une chance sur 32 de gagner.


On peut résonner de la même façon pour la sortie de poule:
les 4 équipes ont autant de chance de sortir de la poule.
Or, 2 équipes sortent de la poule. Les combinaisons possibles sont donc:
1-2 ; 1-3 ; 1-4 ; 2-3 ; 2-4 ; 3-4
Chaque équipe est représentée dans la moitié des sorties de poules. Comme les sorties de poules sont équiprobables, il y a une proba de 1/2 que la France sorte de poule.

Donc la proba que la France gagne est de : 0.5 * 0.5^4 = 0.5^5 = 1/32.

On pourrait certainement plus décomposer comme vous le faites, mais on doit toujours trouver 1/32.


De toute façon, toute autre probabilité est illogique puisqu'il doit y avoir une unique équipe vainqueuse, et que chacune a autant de chance de l'emporter.
Sinon la probabilité de l'univers dépasse 1; ce qui est une absurdité.


EDIT:
Par ailleurs:

(bref, sinon, au final, on se retrouve donc avec p(victoire)= p(1er tour) * p(factions de finale) = ((1/3)³+3(1/3)²)(1/2)⁴
Ce qui vaut à peu près 0,0492 donc 5% de chances, soit 2% de plus que 1/32 ...)

Heu... Persi tu sais plus calculer?
Ca fait environ 0.023148

Donc si on rajoute les proba pour quand le score est tel que la France peut mais pas forcément être qualifiée, bah ça devra être bon

[Bisam]

Je n'ai jamais dit le contraire...
Chacun raisonne comme il veut ! et si tu préfères "résonner" comme une cloche, libre à toi

[Persalteas]

Heu... Persi tu sais plus calculer?
Ca fait environ 0.023148

$mathjax$((\frac{1}{3})^{3}+3\times(\frac{1}{2})^{2})\times(\frac{1}{2})^{4}
=(\frac{1}{27}+3\times\frac{1}{4})\times\frac{1}{16}
=(\frac{4}{108}+\frac{81}{108})\times\frac{1}{16}
=\frac{85}{1728}
\approx 0,0492$mathjax$

[Bisam]

Comme le disait si bien mathieu... Heu, Persi ?
Tu fais une erreur de copie dès le départ !

$mathjax$((\frac{1}{3})^{3}+3\times(\frac{1}{3})^{2})\times(\frac{1}{2})^{4}
=\frac{10}{27}\times\frac{1}{16}
=\frac{5}{216}
\approx 0,023148$mathjax$