Il s'agissait donc de programmer un gestionnaire d'arbres de probabilités, thème ayant pris une forte importance dans les programmes du lycée cette dernière décennie mais pour lequel il n'existait pas de tel programme - et c'est normal vu la difficulté.
Nous avons reçu 4 participations : David Elmaleh, Extra44, L. Haller, Nspirecas.
Les programmes ont été testés par mise en situation sur des problèmes:
Enoncé n°1: arbre binaire symétrique à 2 niveaux (l’exercice de probabilités conditionnelles standard des BAC ES, L et Technologiques)
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BAC S Antilles-Guyane septembre 2010 :
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note :
M l’évènement : "l’animal est porteur de la maladie" ;
T l’évènement : "le test est positif".
1) Un animal est choisi au hasard.
a) Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
2) Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ?
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note :
M l’évènement : "l’animal est porteur de la maladie" ;
T l’évènement : "le test est positif".
1) Un animal est choisi au hasard.
a) Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
2) Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ?
Enoncé n°2: arbre binaire non symétrique à 4 niveaux
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Mathématiques Dynamique en Première, Hachette : Le lièvre et la tortue
Le jeu se joue à deux : un lièvre et une tortue.
On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Si le dé tombe sur 6, le lièvre gagne.
Si le dé tombe sur une autre face que le 6, la tortue avance d’une case. La tortue gagne lorsqu’elle a avancé de 4 cases.
Quelle est la probabilité que la tortue gagne ?
Le jeu se joue à deux : un lièvre et une tortue.
On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Si le dé tombe sur 6, le lièvre gagne.
Si le dé tombe sur une autre face que le 6, la tortue avance d’une case. La tortue gagne lorsqu’elle a avancé de 4 cases.
Quelle est la probabilité que la tortue gagne ?
Enoncé n°3: arbre binaire symétrique à 5 niveaux
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BAC S Centres Etrangers juin 2012 :
Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise.
Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres.
On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.
On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3
Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise.
Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres.
On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.
On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3
Nspirecas nous offre une interface de saisie à l’ancienne, fabriquée à l’aide de l’application de Géométrie Dynamique:
- Avantages:
- Permet de construire et analyser l’arbre du problème n°1.
- Gère des arbres plus complexes.
- Edition de la structure de l’arbre rapide et intuitive.
- L’arbre peut sortir de l’écran mais on peut faire défiler.
- On n’est même pas obligé de compléter entièrement l’arbre; on peut se contenter de saisir les seules probabilités données dans l’énoncé et 0 pour toutes les autres qui seront déduites lors des calculs.
- Inconvénients:
- Au plus 2 niveaux, donc les problèmes n°2 et 3 ne peuvent être traités.
- Le dessin de l’arbre est figé au sens où il est prédéfini par rapport à l’arbre le plus complexe géré et n’optimise pas l’occupation spatiale pour les arbres plus simples.
- Le renommage des événements ne semble pas fonctionner.
- Le programme n’est pas très intuitif, car nécessitant deux arbres, un pour la saisie en page 1.1 et un autre pour les résultats en page 1.3.
- Nombre d’opérations doivent de plus être effectuées manuellement en tapant des commandes en page 1.2.
- Quant aux calculs, ils sont faits tous à la fois et il faut fouiller la sortie d’un programme afin d’espérer pouvoir trouver le bon.
- Arbres gérés:
- au plus 2 niveaux
- au plus 4 branches à la racine, au plus 3 branches sur les autres noeuds
Toutefois nous voyons difficilement comment il pourrait évoluer de par les choix initiaux du programmeur
Luc H. nous propose un programme Lua:
- Avantages:
- Permet de construire l’arbre du problème n°1.
- Gère des arbres plus complexes, avec un nombre quelconque de branches à la racine et pour les deux autres noeuds initiaux.
- Edition rapide et simple de la structure de l’arbre, une fois les touches connues.
- Optimisation spatiale du dessin de l’arbre en fonction de sa structure.
- Complète automatiquement les probabilités-feuilles lors de la saisie.
- Inconvénients:
- Seulement 2 niveaux, donc les problèmes n°2 et 3 ne peuvent être traités.
- On doit compléter entièrement l’arbre, les probabilités d’événements contraires n’étant pas déduites lors de la saisie.
- L’édition de la structure de l’arbre nécessite de connaître les touches clavier associées.
- Le renommage des événements ne semble pas fonctionner.
- A part les feuilles, le programme semble ne faire aucun calcul et ne permet donc pas de terminer le problème n°1.
- Arbres gérés:
- au plus 2 niveaux
- nombre quelconque de branches à la racine et sur les deux autres noeuds initiaux
Nous espérons grandement voir évoluer ce programme prometteur !
David E. nous soumet lui aussi un programme Lua, TreeCreator:
- Avantages:
- Permet de construire et analyser l’arbre du problème n°1.
- Gère des arbres plus complexes à 3 niveaux, mais uniquement dans le cas d’une loi binomiale (saisie des probabilités non libre donc).
- Mode spécial loi binomiale permettant d’accélérer la saisie de l’arbre correspondant.
- Complète les probabilités non spécifiées sur l’arbre en fin de saisie.
- Permet de basculer aisément du mode exact/factionnaire au mode décimal/approché et vice-versa.
- Inconvénients:
- Seulement 2 niveaux en édition libre de l’arbre et 3 niveaux en mode loi binomiale, donc les problèmes n°2 et 3 ne peuvent être traités.
- L’arbre peut sortir de l’écran et n’est hélas pas défilable.
- Arbres gérés:
- 2 niveaux dans l’éditeur libre, 2 ou 3 niveaux via le générateur pour loi binomiale
- 2 branches par noeud (binaire)
A part cela, le programme fait le minimum syndical correspondant à l’exercice-type de probabilités conditionnelles en séries ES, L et Technologiques et a l’avantage de le faire bien.
Un programme à mettre entre toutes les mains !
Enfin Extra 44 nous propose le programme Lua suivant :
(attention, en version d'OS 3.6 et plus, les textes ne sont pas décalés)
- Avantages:
- Permet de construire et analyser l’arbre du problème n°1.
- Gère des arbres plus complexes.
- Permet de construire les arbres des problèmes n°2 et 3.
- Complète les probabilités non spécifiées sur l’arbre au fur et à mesure de la saisie.
- Permet de basculer aisément du mode exact/factionnaire au mode décimal/approché et vice-versa.
- Inconvénients:
- Les arbres sont obligatoirement symétriques, et celui du problème n°2 doit donc être inutilement étendu avec des branches de probabilités 1 et 0.
- Nombre d’actions nécessitent de taper des raccourcis clavier (heureusement indiqués à l'écran) ce qui n’est pas très intuitif.
- A partir de 4 niveaux, le programme semble refuser d’effectuer des calculs de probabilités autres que celles apparaissant sur l’arbre.
- L’arbre peut sortir de l’écran et n’est hélas pas défilable.
- Arbres gérés:
- nombre quelconque de niveaux (rapidement limité toutefois par la complexité exponentielle du dessin de l’arbre - en pratique, ne comptez pas dépasser 6-7 niveaux sans dommages)
- nombre quelconque de branches par noeud, sous la contrainte de symétrie (tous les noeuds d’un même niveau ont le même nombre de branches)
Nous espérons qu’il continuera d’évoluer au delà de ce concours et de la réception du prix associé.
Classement final après délibération du jury :
4ème : Nspirecas, qui gagne 1 TI-82 Plus (identique à une simple TI-83 Plus.fr bleue) + 2 stickers TI-Planet + compte Premium TI-Planet
3ème : L. Haller, qui gagne 1 TI-83 Plus.fr USB (identique à une TI-84 Plus SE) + 3 stickers TI-Planet + compte Premium TI-Planet
2ème : David Elmaleh, qui gagne 1 TI-84 Plus C Silver Edition + 4 stickers TI-Planet + compte Premium TI-Planet
1er : Extra44, qui gagne 1 TI-Nspire CX CAS + 5 stickers TI-Planet + compte Premium TI-Planet
Toutefois, aucun programme n’étant parfait nous vous conseillons dans leur état actuel de prendre ceux des deux premiers :
- TreeCreator de David E pour l’exercice ‘bateau’ de probabilités conditionnelles du BAC ES, L ou Technologique, car un peu plus facile/intuitif à utiliser
- celui de Extra44, notamment pour les ‘délires’ de probabilités conditionnelles du prof pendant l’année particulièrement en série S
Note : les auteurs des programmes respectifs (en particulier les 2 premiers) sont bien sûr libres de proposer des mises-à-jour, le but final n'étant pas le concours en lui-même, mais les meilleures fonctionnalités pour les utilisateurs
En conclusion, une première édition du Grand Prix de Programmation TI-Planet qui est une réussite puisqu’elle a permis d’entraîner la création de programmes de probabilités conditionnelles qui manquaient cruellement suite à la grande importance prise par ce thème dans les programmes du Secondaire lors de la dernière décennie.
On se donne rendez-vous en 2014-2015 pour la deuxième édition !
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