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Posted: **05 May 2009, 19:48**

Bon j'ai la grosse haine contre un problème, honteux de demander ça mais je bloque littéralement

"Trouver l'expression de la symétrie par rapport à (AB) où A = 2 + 3i et B = 5 - i"

Bon alors premièrement j'ai trouvé écrit dans mon cours que en dimension 2 "s = k(m,lambda) o i est une similitude directe si i est une symétrie"
Donc j'essaye d'écrire le truc sous la forme d'une symilitude indirecte, z = a conj(z) + b mais il faut biensûr que A et B soient invarients, donc sa marche pas

Ensuite je me dis que je vais calculer l'expression de la droite au moins, je trouve 3y + 2x = 13 génial !
j'ai donc le vecteur normal n (3,2)
et la je me demande si je peux pas écrire la transformation sous la forme d'un point M + 2 fois la distance du point M à la droite (AB) suivant le vecteur n
bonne idée ou horreur ?

Enfin normallement ça devrait me donner un truc du genre u(z) = quelque chose en fonction de z tout ça nan ?

Shame on me

Posted: **05 May 2009, 19:54**

Écris simplement que le milieu de [MM'] se situe sur la droite (AB) et tu pourras calculer z' en fonction de z...

Posted: **05 May 2009, 20:05**

justement un moment en plus j'ai pensé à écrire que (OM + OM')/2 appartient à (AB) mais sans incister
ou également que OM' - OM appartient à l'orthogonal de (AB)

Prenons M(z) qui a pour image M'(z) on à alors (avec la première équation)
avec z = a+bi et z' = a'+b'i

normallement on sépare a et b apres d'où on obtient comme le point (z+z')/2 qui est le milieu appartient à la droite donc

(b + b')/2 * 3 + (a + a')/2 *2 = 13

d'où l'expression z' qqch en fonction de z

c'est ceci ? dans tout les cas merci à toi une nouvelle fois Bisam !

Posted: **05 May 2009, 20:26**

Tu peux même le faire en restant en complexes, en écrivant que MA=M'A et MB=M'B, ce qui te donne 2 équations de cercles que tu mets au carré et que tu soustrais habilement...

Je te laisse faire la fin ?

PS : Avec cette dernière méthode, tu peux même obtenir sans problème l'expression complexe d'une symétrie orthogonale quelconque par rapport à une droite donnée par 2 points.

Posted: **05 May 2009, 20:46**

mais sinon comment on fait pour retrouver avec la premiere methode parce que j'arrive pas a avoir une relation simple entre z et z'
faut-il vraiment repasser par z=a+ib ?

en tout cas merci quand meme pour l'autre methode

Posted: **06 May 2009, 07:39**

Pour la 1ère méthode, tu peux écrire que P le milieu de [MM'] (d'affixe (z+z')/2), A (d'affixe a) et B (d'affixe b) sont alignés en disant que les vecteurs AP et AB sont colinéaires et en déduire que :

Im(((z+z')/2-a)*conj(b-a))=0

D'autre part, tu peux écrire que les vecteurs MM4 et AB sont orthogonaux, ce qui donne :

Re((z'-z)*conj(b-a))=0

On remplace Re(X) par (X+conj(X))/2 et Im(X) par (X-conj(X))/(2i) et on obtient un système de 2 équations en z' et conj(z') que l'on peut résoudre.

Posted: **06 May 2009, 19:14**

Xywez wrote:Bon j'ai la grosse haine contre un problème, honteux de demander ça mais je bloque littéralement

"Trouver l'expression de la symétrie par rapport à (AB) où A = 2 + 3i et B = 5 - i"

Bon alors premièrement j'ai trouvé écrit dans mon cours que en dimension 2 "s = k(m,lambda) o i est une similitude directe si i est une symétrie"
Donc j'essaye d'écrire le truc sous la forme d'une symilitude indirecte, z = a conj(z) + b mais il faut biensûr que A et B soient invarients, donc sa marche pas

Ensuite je me dis que je vais calculer l'expression de la droite au moins, je trouve 3y + 2x = 13 génial !
j'ai donc le vecteur normal n (3,2)
et la je me demande si je peux pas écrire la transformation sous la forme d'un point M + 2 fois la distance du point M à la droite (AB) suivant le vecteur n
bonne idée ou horreur ?

Enfin normallement ça devrait me donner un truc du genre u(z) = quelque chose en fonction de z tout ça nan ?

Shame on me

Ahh pour une fois que je te mets la misère en maths

- Ma méthode : A et B sont invariants dans la symétrie par rapport à (AB)
Symétrie qui s'écrit z'=a*conj(z)+b, avec (a,b) appartenant à C*xC (similitude indirecte)
On a donc 2+3i = a(2-3i)+b
et 5-i = a(5+i)+b
Système à résoudre (on passe par le pivot de Gauss) : on trouve a = -7/25-24/25*i, b = 136/25+102/25*i
Et voilà ! (c'est de la spé maths terminale mais ça marche très très bien et c'est rapide)

Posted: **06 May 2009, 22:21**

Bisam wrote:Pour la 1ère méthode, tu peux écrire que P le milieu de [MM'] (d'affixe (z+z')/2), A (d'affixe a) et B (d'affixe b) sont alignés en disant que les vecteurs AP et AB sont colinéaires et en déduire que :

Im(((z+z')/2-a)*conj(b-a))=0

D'autre part, tu peux écrire que les vecteurs MM4 et AB sont orthogonaux, ce qui donne :

Re((z'-z)*conj(b-a))=0

On remplace Re(X) par (X+conj(X))/2 et Im(X) par (X-conj(X))/(2i) et on obtient un système de 2 équations en z' et conj(z') que l'on peut résoudre.

J'ai compriiiiiiiiiiiiiiiiiiiiis

Merci beaucoup Bisam

encore une fois au rendez-vous

Posted: **06 May 2009, 22:55**

Marco wrote:Symétrie qui s'écrit z'=a*conj(z)+b, avec (a,b) appartenant à C*xC (similitude indirecte)

Bien sûr c'est le moyen le plus rapide... mais il faut connaître les similitudes indirectes (et ce n'est pas au programme de spé maths normalement).

Marco wrote:On a donc 2+3i = a(2-3i)+b
et 5-i = a(5+i)+b
Système à résoudre (on passe par le pivot de Gauss) )

Là, par contre, je réfute !
On peut passer par le pivot de Gauss pour résoudre mais dans le cas d'un système 2x2, il est souvent plus rapide d'utiliser les formules de Cramer.

Posted: **06 May 2009, 22:57**

moi je me souvient avoir les similitudes indirecte en spé maths en terminale, même si essentiel des similitudes étaient directes biensûr !

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