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Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Corrigé Partie A 1. Soient a , b et c des entiers relatifs. On suppose que a divise le produit bc et que a et b sont premiers entre eux. Puisque a et b sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que . On multiplie l'égalité par c , on a : . Puisque a divise le produit bc , a divise le produit bcv . De plus a divise auc . Donc a divise la somme auc + bcv , par conséquent a divise c . Ce qui démontre le théorème de Gauss. 2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux. On considère un entier relatif a tel que : et . Alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que et . Donc . p divise k'q et p est premier avec q donc d'après le théorème de Gauss, p divise k' . Il existe donc un entier relatif K tel que . On a donc d'où . Partie B 1. a) 17 et 5 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Bézout, il existe u et v entiers relatifs tels que . b) On pose . On a et . Donc , et . Donc n 0 est un élément de . c) On peut appliquer l'algorithme d'Euclide pour déterminer une valeur de ( u , v ) puis une valeur de n 0 : donc ; donc . D'où . Finalement . On peut donc prendre par exemple et . On a alors . 2. a) Soit n un entier relatif appartenant à . On a et . On sait que et . Donc et . Or 17 et 5 sont premiers entre eux donc . b) Par conséquent, si alors , c'est-à-dire , or . Donc il existe un entier relatif k tel que . Réciproquement, si avec k entier relatif, alors : et , c'est-à-dire . 3. On a avec k entier relatif et n compris entre 300 et 400. On trouve k = 4 d'où n = 383. Zoé a 383 jetons.
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Informations
Catégorie(s) : Cours et Formulaires TI-Nspire
Type : Classeur 3.0.1
Auteur(s) : wame
Taille :
Nombre de téléchargements : 155 (dernier le 15/06/2013, 20:16)
Lien court permanent : http://ti-pla.net/a5096
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